[論文レビュー] Props of ribbon graphs, involutive Lie bialgebras and moduli spaces of curves

Sergei Merkulov, Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、辺、頂点、境界成分にラベルが付与された有向リボングラフの可換体としてのプロップ ℛ𝐺𝑟𝑎_d を導入する。この構造は整数 d に依存する 𝕊_l × (ℤ/2ℤ)^l の表現を備えており、これにより自己同型的リーバイアルゲブラと関連づけられる。本稿は、この代数的構造と自己同型的リーバイアルゲブラの間の関係を確立し、ℛ𝐺𝑟𝑎_d がそれらの代数的構造を普遍的に記述する枠組みを提供することを示し、リボングラフ複体による曲面のモジュライ空間の分解を構成する。

ABSTRACT

We establish a new and surprisingly strong link between two previously unrelated theories: the theory of moduli spaces of curves ${\mathcal M}_{g,n}$ (which, according to Penner, is controlled by the ribbon graph complex) and the homotopy theory of $E_d$ operads (controlled by ordinary graph complexes with no ribbon structure, introduced first by Kontsevich). The link between the two goes through a new intermediate {\em stable}\, ribbon graph complex which has roots in the deformation theory of quantum $A_\infty$ algebras and the theory of Kontsevich compactifications of moduli spaces of curves $\overline{\mathcal M}_{g,n}^K$. Using a new prop of ribbon graphs and the fact that it contains the prop of involutive Lie bialgebras as a subprop we find new algebraic structures on the classical ribbon graph complex computing $H^\bullet(\mathcal M_{g,n})$. We use them to prove Comparison Theorems, and in particular to construct a non-trivial map from the ordinary to the ribbon graph cohomology. On the technical side, we construct a functor $\mathcal O$ from the category of prop(erad)s to the category of operads. If a properad $\mathcal P$ is in addition equipped with a map from the properad governing Lie bialgebras (or graded versions thereof), then we define a notion of $\mathcal P$-``graph'' complex, of stable $\mathcal P$-graph complex and a certain operad, that is in good cases an $E_d$ operad. In the ribbon case, this latter operad acts on the deformation complexes of any quantum $A_\infty$-algebra. We also prove that there is a highly non-trivial, in general, action of the Grothendieck-Teichmüller group $GRT_1$ on the space of so-called {\em non-commutative Poisson structures}\, on any vector space $W$ equipped with a degree $-1$ symplectic form (which interpolate between cyclic $A_\infty$ structures in $W$ and ordinary polynomial Poisson structures on $W$ as an affine space).

研究の動機と目的

• 有向リボングラフに辺、頂点、境界成分のラベルを付与する新しい代数的構造、すなわちプロップ ℛ𝐺𝑟𝑎_d を定義すること。
• 辺の置換と辺の向きの反転を伴う 𝕊_l × (ℤ/2ℤ)^l の群作用を、d に依存する符号表現を介してこれらのグラフに定義すること。
• ℛ𝐺𝑟𝑎_d に関連するグラフ複体を用いて、自己同型的リーバイアルゲブラの普遍的分解を確立すること。
• このグラフ複体のホモロジーとモジュライ空間のコホモロジーとの関係を明らかにすること。
• グラフ論的および代数的手段を用いて、モジュライ空間のデリーニュ＝マウムフォードコンパクト化を理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 辺、頂点、境界のラベル付きの有向リボングラフの同型類の集合 𝒪_{m,n}^l を定義する。
• 辺の置換と辺の向きの反転を伴う群 P_l = 𝕊_l × (ℤ/2ℤ)^l をこれらのグラフに作用させる。
• P_l の表現 sgn_l^{(d)} を構成し、d の偶奇に応じて符号を割り当てる。
• グラフの空間に次数を導入し、体 𝕂 上の次数付きベクトル空間としてプロップ ℛ𝐺𝑟𝑎_d を定義する。
• d に依存する符号表現を用いて、グラフ複体に微分を定義し、これにより自己同型的リーバイアルゲブラの代数的関係を符号化する。
• この複体のホモロジーが、デリーニュ＝マウムフォードコンパクト化の分解を通じて、曲面のモジュライ空間のコホモロジーを計算することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 辺、頂点、境界にラベルが付与された有向リボングラフは、自己同型的リーバイアルゲブラの普遍的代数的構造を構築するためにどのように利用可能か？
• RQ2 d に依存する符号表現 sgn_l^{(d)} は、グラフ複体上の微分を定義する際に果たす役割は何か？
• RQ3 ℛ𝐺𝑟𝑎_d に関連するグラフ複体は、自己同型的リーバイアルゲブラの構造をどのように分解するか？
• RQ4 このグラフ複体のホモロジーとモジュライ空間のコホモロジーの間にはどのような関係があるか？
• RQ5 プロップ ℛ𝐺𝑟𝑎_d は、モジュライ空間のデリーニュ＝マウムフォードコンパクト化を組み合わせ論的および代数的モデルとして提供可能か？

主な発見

• プロップ ℛ𝐺𝑟𝑎_d は、d に依存する符号を備えたグラフ複体を用いて、自己同型的リーバイアルゲブラを記述する普遍的分解を提供する。
• リボングラフへの群作用 P_l = 𝕊_l × (ℤ/2ℤ)^l は、d に依存する符号表現 sgn_l^{(d)} を介して符号的に記述される。
• グラフ複体上の微分は符号表現を用いて定義され、これによりリーバイアルゲブラの関係と整合性が保たれる。
• ℛ𝐺𝑟𝑎_d に関連するグラフ複体のホモロジーは、g が genus で n 個の標識点を持つ安定曲面のモジュライ空間のコホモロジーを計算する。
• この構成により、モジュライ空間のデリーニュ＝マウムフォードコンパクト化とグラフ複体のホモトピー理論との間に関係が確立される。
• この枠組みにより、モジュライ空間がグラフ複体の商として実現され、リボングラフに d 構造を備えた分解が得られる。