[論文レビュー] Provable quantum state tomography via non-convex methods

Anastasios Kyrillidis, Amir Kalev+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 64被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、少ない測定回数から低ランクまたは純粋な量子状態を効率的に再構成できる、非凸最適化手法である「射影因子勾配降下法（ProjFGD）」を提案する。非凸であるにもかかわらず、緩い条件下でグローバル最小値に正当に収束することが保証されており、高次元系においては凸ソルバーに比べて高速かつスケーラブルである。

ABSTRACT

With nowadays steadily growing quantum processors, it is required to develop new quantum tomography tools that are tailored for high-dimensional systems. In this work, we describe such a computational tool, based on recent ideas from non-convex optimization. The algorithm excels in the compressed-sensing-like setting, where only a few data points are measured from a low-rank or highly-pure quantum state of a high-dimensional system. We show that the algorithm can practically be used in quantum tomography problems that are beyond the reach of convex solvers, and, moreover, is faster than other state-of-the-art non-convex approaches. Crucially, we prove that, despite being a non-convex program, under mild conditions, the algorithm is guaranteed to converge to the global minimum of the problem; thus, it constitutes a provable quantum state tomography protocol.

研究の動機と目的

• 高次元量子系における凸量子状態トモグラフィー手法の計算非効率性を解消すること。
• nキュービット系においてO((2^n)^3)のスケールで増加する、凸ソルバーにおける固有値分解の高コストを克服すること。
• 理論的保証を維持しながら、より高速な収束と低い記憶容量要件を達成する非凸最適化フレームワークを構築すること。
• 特に、限られたデータからの純粋または低ランク状態の再構成が可能な、従来の凸ソルバーでは到達できない分野の実用的量子状態再構成を可能にすること。
• 現実的な仮定の下で、量子状態トモグラフィーに特化した非凸定式化に対して、グローバル最小値への正当な収束を提供すること。

提案手法

• 密度行列ρ = AA†の要因化パラメータ化を用いて、量子状態トモグラフィーを非凸な低ランク行列回復問題として定式化する。
• 制約（ノルムが1、半正定値性など）を暗黙的に満たすように、因子A上で射影交替勾配降下法（ProjFGD）を最適化する。
• 収束性と安定性を保証するため、適応的ステップサイズη = 1/(10 * L_est * S1(1,1) + S2(1,1))を用いたラインサーチ戦略を導入する。
• 各更新後にAの正規化を行うための射影ステップを導入し、探索空間内での解の妥当性を維持する。
• 初期化にはρ₀ = Π₊(−𝒜*(y))を用い、その後SVDに基づく因子分解によりA₀を取得することで、収束のための良好な初期点を確保する。
• 最適化中に制約を統合し、得られるρが有効な密度行列（エルミート、半正定値、トレースが1）のまま保たれるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現実的な条件下で、非凸最適化手法が量子状態トモグラフィーにおいて正当なグローバル収束を達成できるか？
• RQ2 提案手法の非凸的定式化が、高次元量子系において凸ソルバーに比べて計算効率とスケーラビリティで優れているか？
• RQ3 パウリ測定がわずかにしか利用できない状況において、アルゴリズムが純粋または低ランク量子状態をどれほどうまく再構成できるか？
• RQ4 初期化の質とステップサイズ選択が、非凸設定における収束速度と精度に与える影響はいかほどか？
• RQ5 完全再構成の情報理論的閾値を著しく下回る測定回数でも、この手法がロバスト性と正確性を維持できるか？

主な発見

• ProjFGDは、緩い正則性条件と良好な初期化のもとで、非凸最適化手法であるにもかかわらず、真の量子状態への正当なグローバル収束を達成する。
• n=12キュービット、1キュービットあたり3パウリ測定（C_sam=3）の条件下で、ProjFGDは266.82秒で相対Frobenius誤差8.4761e-06を達成し、精度と速度の両面でRSVPおよびSparseApproxSDPを上回った。
• 純粋状態の場合（r=1）では、n=6では0.1秒未塔、n=10では14秒未塔で相対誤差が10^-5未塔に達し、優れたスケーラビリティを示した。
• n=10におけるランク5およびランク20の状態に対しても、ProjFGDは相対誤差を10^-5未塔に保ち、500秒未塔の実行時間で実行された。これはランクの増加に対してもロバストであることを示している。
• 状態の最良の凸ソルバーと比較して、著しく高速である：n=12の場合、ProjFGDはRSVPの約56倍、SparseApproxSDPの約54倍高速であり、より高い正確性を達成した。
• 数値結果から、ProjFGDはAccUniPDGradよりも収束が早く、高次元および低サンプリング領域を含むすべてのテスト設定で、低い再構成誤差を達成した。