[論文レビュー] Proving homological stability for homeomorphisms of manifolds

Alexander Kupers|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、6次元以上の1連結な位相的多様体の同相群について、微分同相群のGalatius-Randal-Williamsの議論を適応させることで、ホモロジー的安定性を確立する。同相群の分類空間のホモロジーは、$S^n \times S^n$ との連結和によって安定化し、McDuffの定理と障害理論を用いて、PL同相群および離散同相群への拡張がなされる。

ABSTRACT

Following the argument for diffeomorphisms by Galatius and Randal-Williams, we prove that homeomorphisms of 1-connected manifolds of even dimension at least 6 exhibit homological stability. We deduce similar results for PL homeomorphisms and homeomorphisms as a discrete group.

研究の動機と目的

• 高次元多様体の微分同相群におけるホモロジー的安定性結果を、位相的多様体の同相群へ拡張すること。
• 次元 $2n \geq 6$ の1連結な位相的多様体のPL同相群におけるホモロジー的安定性を確立すること。
• 同様の安定化過程において、そのような多様体の離散同相群の分類空間に対してもホモロジー的安定性が成立することを示すこと。
• 滑らかさから位相的およびPL的カテゴリへ他のホモロジー的安定性結果を拡張するための基盤的ツールと参考文献を提供すること。

提案手法

• パラメータ付きホモトピー拡張と微分可能バンドルの横断的性質を用いて、微分同相群のGalatius-Randal-Williamsの議論を位相的カテゴリへ適応する。
• 障害理論と安定同相定理を用い、特に $n \geq 3$ の次元において、多様体上のPLおよび位相的構造の関係を調べる。
• McDuffの定理（離散群と連続群の分類空間のホモロジー同値性）を応用し、離散同相群への結果の拡張を実現する。
• 連結和 $S^n \times S^n$ を用いた安定化写像を用い、ホモロジーが所定の範囲で安定化する分類空間の系列を定義する。
• $H^3(W; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = 0$ または $W$ が3連結であるとき、$B{\rm PL}_{\partial}(W) \to B{\rm TOP}_{\partial}(W)$ が弱同値であることを利用する。
• ${\rm TOP}(2n)$ の $n$-連結被覆と関連するティム・スペンクトラム $MT(\theta^{\rm TOP})$ を用い、安定ホモロジー型を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分同相群におけるホモロジー的安定性議論は、6次元以上の高次元における位相的多様体の同相群へも拡張可能か？
• RQ2 次元 $2n \geq 6$ の1連結な位相的多様体のPL同相群に対しても、同様の安定性結果が成立するか？
• RQ3 そのような多様体の離散同相群の分類空間に対しても、ホモロジー的安定性が成立するか？
• RQ4 高次元多様体上のPL構造と位相的構造の関係は何か？ そして、それらの同相群のホモトピー的およびホモロジー的性質にどのように影響を与えるか？
• RQ5 滑らかさのケースで用いられるスキャン技法は、位相的およびPL的同相群の安定ホモロジーを計算するために適応可能か？

主な発見

• 1連結な位相的多様体（次元 $2n \geq 6$）に対して、$B{\rm TOP}_{\partial}(M\#_g(S^n \times S^n))$ のホモロジーは範囲 $* \leq \frac{g-3}{2}$ で安定化し、$* \leq \frac{g-1}{2}$ まで全射である。
• 条件 $H^3(W; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = 0$ または $W$ が3連結のとき、弱同値 $B{\rm PL}_{\partial}(W) \to B{\rm TOP}_{\partial}(W)$ を用いて、PL同相群への結果の拡張がなされる。
• McDuffのホモロジー同値性 $B{\rm TOP}^\delta \to B{\rm TOP}$ により、離散同相群のホモロジー的安定性が示される。
• 分類空間 $B{\rm TOP}_{\partial}(W_{g,1})$ の安定ホモロジーは、スペンクトラム $MT(\theta^{\rm TOP})$ の無限ループ空間の成分と同型であると予想される。
• $B{\rm DIFF}_{\partial}(W_{g,1}) \to B{\rm TOP}_{\partial}(W_{g,1})$ は、$* \leq \frac{g-4}{2}$ まで有理コホモロジーで全射であり、$* \leq \min(\frac{2n-7}{2}, \frac{2n-4}{3})$ まで分解可能単射である。これは、予想される安定ホモロジー同型の裏付けを提供する。
• PLおよび位相的カテゴリは高次元で密接に関連している：$n \geq 3$ のとき $B{\rm PL}(2n)\langle n\rangle \to B{\rm TOP}(2n)\langle n\rangle$ は弱同値であり、$W$ が3連結のとき $B{\rm PL}_{\partial}(W) \to B{\rm TOP}_{−}(W)$ も弱同値である。