[論文レビュー] Pruning Isomorphic Structural Sub-problems in Configuration

Stéphane Grandcolas, Laurent Hénocque+1 more|ArXiv.org|Jun 27, 2003

Model-Driven Software Engineering Techniques参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Tツリー表現の正規性を低コストで均等化可能なアルゴリズムを用いてテストすることにより、構成問題における同型の構造的部分問題を形式に依存せずに排除する手法を提案する。この手法により、問題モデルの変更なしに、非正規の構成の数を実際には桁違いに削減できるため、重複する探索空間を効果的に削ぎ落とすことが可能になる。

ABSTRACT

Configuring consists in simulating the realization of a complex product from a catalog of component parts, using known relations between types, and picking values for object attributes. This highly combinatorial problem in the field of constraint programming has been addressed with a variety of approaches since the foundation system R1(McDermott82). An inherent difficulty in solving configuration problems is the existence of many isomorphisms among interpretations. We describe a formalism independent approach to improve the detection of isomorphisms by configurators, which does not require to adapt the problem model. To achieve this, we exploit the properties of a characteristic subset of configuration problems, called the structural sub-problem, which canonical solutions can be produced or tested at a limited cost. In this paper we present an algorithm for testing the canonicity of configurations, that can be added as a symmetry breaking constraint to any configurator. The cost and efficiency of this canonicity test are given.

研究の動機と目的

• 制約プログラミングにおける構造的同型性が原因で生じる重複する探索空間の問題に取り組むこと。
• 同一の部分構造から生じる同型性をモデル再構成を要せず検出・排除する手法を開発すること。
• 既存の任意の構成ツールと互換性があり、下位の形式に依存しない一般用途の対称性破壊機構を提供すること。
• 簡略化されたTツリーモデルにおいて、正規の構成と非正規の構成の数を形式的に定義し計算すること。
• 正規表現が同値解の数を著しく削減し、構成ツールの効率を向上させることを示すこと。

提案手法

• 本稿では、オブジェクトタイプをノード、構成関係をエッジとして表すTツリーとしてモデル化された構造的部分問題の概念を導入する。
• 構造的同型性に基づきTツリーに部分順序 ≤ を定義し、各同型類に対して正規代表を導出する。
• ≤ 関係においてTツリーが辞書式に最小であるかをチェックする再帰的アルゴリズムを用いて正規性テストを定式化する。
• 部分木の多重集合の組み合わせを活用し、二項係数を用いて部分木の配置を効率的に数え上げ・比較する。
• 任意の構成ツールに対称性破壊制約として統合され、探索中に同型の部分木を削除可能となる。
• 再帰的公式を用いて形式化される：$ N_{p,k} = \frac{(N_{p-1,k})^{k+1} - 1}{N_{p-1,k} - 1} $ は総構成数を、$ M_{p,k} = \binom{M_{p-1,k} + k}{k} $ は正規構成数を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成問題における構造的同型性から生じる同型性は、モデルを変更せずに検出・排除可能か？
• RQ2 Tツリーが正規であるかをテストする計算コストは何か？効率的に実行可能か？
• RQ3 正規構成に制限することで、探索空間はどの程度削減可能か？
• RQ4 Tツリーモデルにおける非正規構成と正規構成の数の漸近的比は何か？
• RQ5 一般用途で使用可能で、形式に依存しない対称性破壊技術を構成ツール向けに設計可能か？

主な発見

• 深さ $ p $、$ k $-連結なTツリーの非正規構成数 $ N_{p,k} $ は $ \Theta(k^{k^{p-1}}) $ のオーダーで増加し、冗長解の指数的爆発を示す。
• 深さ $ p $、$ k $-連結なTツリーの正規構成数 $ M_{p,k} $ は $ \Theta(\frac{4^{k^{p-1}}}{k^{k^{p-2}}}) $ のオーダーで増加し、$ p $ や $ k $ が大きい場合には $ N_{p,k} $ よりも著しく小さい。
• $ p=3, k=4 $ の場合、比 $ N_{p,k}/M_{p,k} $ は $ 3.6 \times 10^{11} / 1.13 \times 10^7 $ を超え、正規化による削減が顕著であることを示す。
• $ p=2, k=2 $ のような小さな値に対しても、比 $ N_{2,2}/M_{2,2} = 13/10 $ となり、早期から顕著な利点が得られることを示す。
• 正規性テストは計算的に効率的で、均等化可能であり、実世界の構成ツールに対称性破壊制約として統合可能である。
• 本手法は、未使用部品の数え上げや交換可能性に基づく先行手法を一般化し、構造レベルでの同型性を処理できるため、優れている。