[論文レビュー] Prym covers, theta functions and Kobayashi curves in Hilbert modular surfaces

Martin Moeller|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、theta関数の導関数の行列式を用いて、ヒルベルトモジュラー多様体内の完全測地的代数的曲線（小林曲線）を構成する。その結果、これらの曲線が零点をとる明示的なモジュラー形式が得られ、特に genus 4 および 3 のPrymテイヒミュラー曲線のオイラー標数についての公式が得られる。具体的には、χ(W_D(6)) = −7χ(X_D) および χ(W_D(4)^j) = −5⁄2χ(X_D,(1,2)) が示される。

ABSTRACT

Algebraic curves in Hilbert modular surfaces that are totally geodesic for the Kobayashi metric have very interesting geometric and arithmetic properties, e.g. they are rigid. There are very few methods known to construct such algebraic geodesics that we call Kobayashi curves. We give an explicit way of constructing Kobayashi curves using determinants of derivatives of theta functions. This construction also allows to calculate the Euler characteristics of the Teichmueller curves constructed by McMullen using Prym covers.

研究の動機と目的

• ヒルベルトモジュラー多様体内の小林曲線が零点をとる明示的なモジュラー形式の構成。
• アーベル微分の空間におけるPrymテイヒミュラー曲線 W_D(6) および W_D(4) のオイラー標数の計算。
• より高次のレベル構造を持つtheta関数を用いた同種の曲線の一般化された構成法。
• 異なる種類の小林曲線を区別する不変量としての第二リャプノフ指数の考察。
• 高階のtheta関数の行列式を用いた新しい小林曲線の構成可能性の探求。

提案手法

• z_2 に関するtheta関数およびその第一、第二、第三微分からなる 4×4 行列の行列式として、モジュラー形式 G_D^X(z) を定義する。
• G_D^X(z) が SL(o_D ⊕ o_D^∨) の重み (2,14) のモジュラー形式であり、その零点集合が小林曲線 W_D^X に一致することを示す。
• ヒルベルトモジュラー多様体上の交線論を用い、線束 ω_1 と ω_2 を曲線類 [W_D^X] とペアリングすることでオイラー標数を計算する。
• 関係式 [W_D^X] = [ω_1] + 7[ω_2] と交線数 [ω_1][ω_2] = χ(X_D) を用いて、χ(W_D^X) = −7χ(X_D) を導出する。
• レベル N のtheta関数を用いた一般化において、c_1 ∈ (1/N)Z^2 / Z^2 に対して θ(c_1,0)(z,u) を考え、その行列式の次数を N^2 とする。
• G_D^{[N]}(z) を、これらのtheta関数の高々 N^2−1 階微分からなる N^2 × N^2 行列の行列式として定義し、重み (N^2/2, N^2/2 (2N^2−1)) のモジュラー形式が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルトモジュラー多様体内の小林曲線は、theta関数およびその導関数を用いて明示的に構成可能か？
• RQ2 アーベル微分の空間におけるPrymテイヒミュラー曲線 W_D(6) および W_D(4) のオイラー標数は何か？
• RQ3 一般化されたtheta関数の行列式 G_D^{[N]} の零点集合は、非特異的かつ、新たな小林曲線を導くか？
• RQ4 ヒルベルトモジュラー多様体内の小林曲線に対して、第二リャプノフ指数が取り得る値の集合は何か？
• RQ5 異なるテイヒミュラー曲線（例：W_D, W_D^X, W_D(6)）のリャプノフ指数はどのように比較可能か？幾何学的には何を示唆するか？

主な発見

• 古典的theta関数の導関数の行列式 G_D^X(z) は、重み (2,14) のモジュラー形式であり、その零点集合は小林曲線 W_D^X に一致する。
• モジュライ空間 M_4 内のPrymテイヒミュラー曲線 W_D(6) のオイラー標数は χ(W_D(6)) = −7χ(X_D) である。
• D ≡ 4 mod 8 のとき、M_3 内の曲線 W_D(4) のオイラー標数は χ(W_D(4)) = −5⁄2χ(X_D,(1,2)) である。
• D ≡ 1 mod 8 のとき、2つの成分 W_D(4)^1 および W_D(4)^2 はそれぞれ χ(W_D(4)^j) = −5⁄2χ(X_D,(1,2)) を満たす。
• 第二リャプノフ指数 λ_2(C) = ([ω_1]·[C])/([ω_2]·[C]) は小林曲線の不変量であり、異なる曲線種別で値 1, 1/3, 1/7, 1/2 をとる。
• 一般化された行列式 G_D^{[N]}(z) は重み (N^2/2, N^2/2 (2N^2−1)) のモジュラー形式であり、λ_2 = 1/(2N^2−1) をとる新たな小林曲線の族が得られると示唆される。