[論文レビュー] Prym varieties and fourfold covers

Sevín Recillas, Rubí E. Rodríguez|ArXiv.org|Mar 12, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、中間被覆のPrym多様体を用いて、曲線の四重ガロア被覆のヤコビ多様体を研究し、同種写像の核および極化型の明示的な群論的記述を提供する。大斜交および三角化の構成法について、群作用を用いた新しい証明がなされ、楕円曲線とアーベル多様体の積に同種なヤコビ多様体の族が得られる。

ABSTRACT

We describe the isotypical decomposition of the Jacobian variety JW of the Galois extension W-->T of any fourfold cover of smooth connected irreducible projective complex curves X-->T, in terms of Prym's of intermediate covers. We also compute the degree of the isogenies involved and as a result we obtain new proofs of the bigonal and trigonal constructions. Furthermore, we give examples of families of Jacobians isogenous to a product of Jacobians and of families of Prym varieties isogenous to the product of elliptic curves.

研究の動機と目的

• 四重ガロア被覆のヤコビ多様体の構造を、中間被覆の一般化されたPrym多様体を用いて分析すること。
• ヤコビ多様体の同種的分解に生じる自然な同種写像の核を特定すること、特に2-捩れ部分群の観点から。
• 特定の分岐データおよび $T = \mathbb{P}^1$ に制限することで、大斜交および三角化の構成法を群論的・表現論的手段で再証明すること。
• 制御された分岐を用いて、ヤコビ多様体の積に同種なヤコビ多様体の族および、楕円曲線の積に同種なPrym多様体の族を構成すること。
• 四重被覆における二面体群、交代群、対称群のガロア群の下での極化型および双対性関係を同定すること。

提案手法

• 有限群作用におけるヤコビ多様体の同種的分解を用い、有理数的単純成分を中間被覆の一般化されたPrym多様体として同定する。
• 大斜交および三角化の構成法を、特に $\mathbb{P}^1$ をベースとする被覆の文脈で、ヤコビ多様体とPrym多様体を関連付けるための道具として用いる。
• 分岐データを用いて、$P_{\sigma}[2]$、$P_{\tau}[2]$、$P_{\sigma\tau}[2]$ の明示的記述を通じて、同種写像 $\phi_{k}$ の核を計算する。
• 分岐点に付随する線分束およびベース曲線 $T$ からの引き戻しを用いて、$P_{\sigma}[2]$、$P_{\tau}[2]$、$P_{\sigma\tau}[2]$ の生成子を構成する。
• 双対性および引き戻し写像（$a_{\sigma}^*$、$b_{\sigma}^*$）を用い、Prym多様体の部分群を関連付け、交わりを計算して核のサイズを特定する。
• 補題4.3および $JT[2]$ の構造を適用し、Prym多様体の2-捩れ部分群を、捩れ部分群と線分束類の直和に分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四重被覆のヤコビ多様体は、中間被覆の一般化されたPrym多様体を用いて、どのように同種成分に分解できるか？
• RQ2 四重被覆の文脈において、ヤコビ多様体とそのPrym成分間の同種写像の核の明示的構造は何か？
• RQ3 大斜交および三角化の構成法は、分岐データに制限し、$T = \mathbb{P}^1$ とした場合に、純粋に群論的および表現論的手段で再導出可能か？
• RQ4 どのような分岐条件下で、四重被覆のPrym多様体が楕円曲線の積に同種になるか？
• RQ5 二面体群、交代群、対称群の場合のPrym多様体が、どのような極化型を引き継ぐか？

主な発見

• 二面体群の場合、$r > 1$ かつ $st > 0$ のとき、$\phi_\tau$ の核の位数は $2^{2g_T - 1 + t}$ であり、同様の式が $\phi_{\sigma\tau}$ および $\phi_\sigma$ に対しても成り立つ。
• $r = t = 1$ の場合、$\phi_{\sigma\tau}$ の核の位数は $2^{2g_T}$ であり、これはPrym 2-捩れ部分群の引き戻しの交わりがより大きいことを示している。
• $P_\sigma[2]$、$P_\tau[2]$、$P_{\sigma\tau}[2]$ の2-捩れ部分群は、$b_\sigma^*(JT[2])$、$b_\tau^*(JT[2])$ および追加の線分束類を含む直和として明示的に分解される。
• $a_\sigma^*(P_\sigma[2]) \cap a_\tau^*(P_\tau[2])$ は $\gamma^*(JT[2]) \oplus \bigoplus_{i=1}^{r-1} \mathcal{F}_i \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ に等しく、これが核のサイズを決定する。
• 本稿は、$T = \mathbb{P}^1$ および特定の分岐プロファイルに制限することで、古典的な三角化および大斜交構成法が群論的手法を用いて再証明可能であることを確立している。
• $\mathcal{S}_4$-作用を持つ曲線の族が構成され、そのヤコビ多様体がヤコビ多様体の積に同種であることが示され、明示的な核の計算が提供されている。