[論文レビュー] Prym varieties and the canonical map of surfaces of general type

Ciro Ciliberto, Rita Pardini+1 more|ArXiv.org|May 25, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、表面の有限被覆写像 $ h: V \to W $ と $ W $ 上のネフでビッグな線分束 $ L $ を含む幾何的構成である「良い生成対」の概念を導入し、一般型の表面の無限族を体系的に構成する。この表面の canonical 写像は、標準的に埋め込まれた表面へ2次写像である。主な貢献は、$ V $ のアーベル多様体がプリム多様体に同型であることを示したことであり、プリム写像の纤维が正の次元を持つ場合、この構造により、ボエヴィルの例を一般化した、新たな無限系列の表面が構成可能である。

ABSTRACT

Let X be a smooth complex surface of general type such that the image of the canonical map $ϕ$ of X is a surface $Σ$ and that $ϕ$ has degree $δ\geq 2$. Let $ε\colon S o Σ$ be a desingularization of $Σ$ and assume that the geometric genus of S is not zero. Beauville has proved that in this case S is of general type and $ε$ is the canonical map of S. Beauville has also constructed the only infinite series of examples $ϕ:X o Σ$ with the above properties that was known up to now. Starting from his construction, we define a {\em good generating pair}, namely a pair $(h:V o W, L)$ where h is a finite morphism of surfaces and L is a nef and big line bundle of W satisfying certain assumptions. We show that by applying a construction analogous to Beauville's to a good generating pair one obtains an infinite series of surfaces of general type whose canonical map is 2-to-1 onto a canonically embedded surface. In this way we are able to construct more infinite series of such surfaces. In addition, we show that good generating pairs have bounded invariants and that there exist essentially only 2 examples with $\dim |L|>1$. The key fact that we exploit for obtaining these results is that the Albanese variety P of V is a Prym variety and that the fibre of the Prym map over P has positive dimension.

研究の動機と目的

• 2対1の canonical 写像を持つ一般型表面のボエヴィルの構成を一般化すること。
• このような canonical 被覆が生じるための幾何的およびコホロロジー的条件を同定し、形式化すること。
• 被覆表面 $ V $ のアーベル多様体がプリム多様体に同型であることを示し、モジュライ理論と結びつけること。
• 生成対を $ \dim|L| > 1 $ で分類し、本質的に2つしかないことを示すこと。
• 2次 canonical 被覆を生成する体系的な方法を提供すること。

提案手法

• 『良い生成対』$ (h: V \to W, L) $ を定義し、$ h $ が2次有限写像、$ W $ が $ A_1 $ 奇点を持つこと、$ L $ がネフかつビッグで、$ |L| $ に滑らかで非ハイパーオーバルな曲線が含まれ、かつ $ |K_V + h^*L| = h^*|K_W + L| $ を満たすこと。
• 一般の表面 $ \Sigma \in |p_1^*L \otimes p_2^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(n)| $ への引き戻しとして、$ \tilde{h} = h \times \mathrm{id} $ を用いて、表面 $ X $ を構成し、$ X \to \Sigma $ が canonical 被覆であることを保証する。
• $ V \times \mathbb{P}^1 $ および $ W \times \mathbb{P}^1 $ における接合公式を用いて、誘導写像 $ \psi: X \to S $ が2次の良い canonical 被覆であることを検証する。
• 一般曲線 $ C \in |L| $ に対し、$ C' \to C $ を分岐なし2重被覆とするとき、$ V $ のアーベル多様体がこの被覆のプリム多様体に同型であることを示す。
• アーベル多様体上のプリム写像の纤维の正の性質を用いて、このような対の存在を制約する。
• リーマン・ハーウィッツの公式とモノドロミー解析を用いて、特定のガロア作用を除外し、場合によっては被覆 $ h: V \to W $ が3次巡回被覆であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限写像 $ h: V \to W $ と $ W $ 上の線分束 $ L $ にどのような条件を課すと、引き戻しにより一般型で、表面 $ \Sigma $ へ2対1の canonical 写像を持つ表面 $ X $ が得られるか？
• RQ2 ボエヴィルの canonical 被覆の構成を、このような表面の無限族を生成する形に一般化できるか？
• RQ3 プリム多様体は、被覆表面 $ V $ のアーベル多様体を特徴付けるために果たす役割は何か？
• RQ4 $ \dim|L| > 1 $ を満たす生成対 $ (h: V \to W, L) $ は、同型を除いて何通り存在するか？
• RQ5 オイラー特性の不一致などの位相的・コホロロジー的制約によって、このような被覆の存在が妨げられることがあるか？

主な発見

• 一般曲線 $ C \in |L| $ に対し、$ C' \to C $ を分岐なし2重被覆とするとき、$ V $ のアーベル多様体はこの被覆のプリム多様体に同型である。
• $ V $ のアーベル多様体上のプリム写像の纤维は正の次元をもち、これがこのような被覆の無限族の存在に不可欠である。
• 本質的に2つしかない $ \dim|L| > 1 $ を満たす良い生成対が存在し、これらは完全に分類されている。
• 本構成により、ボエヴィルの例を一般化した、2対1の canonical 写像を持つ一般型表面の新たな無限系列が得られる。
• Kodaira次元 $ \kappa = 1 $ の場合は非常に制限が強く、$ \kappa = 0 $ の場合はまさにボエヴィルの構成に一致する。
• 位相的障害、特にオイラー特性の不一致により、$ q(V) = 4 $ または $ q(V) = 2 $ のルールドの場合に、このような被覆の存在は除外され、その設定では $ \kappa(V) = 2 $ であることが証明される。