[論文レビュー] Prym varieties and the Schottky problem for cubic threefolds

Sebastian Casalaina‐Martin|arXiv (Cornell University)|May 25, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかな立方三重数の中間ヤコビアンの閉包が、5次元の principally polarized abelian varieties (ppav's) のモジュライ空間内において、theta divisor に3以上の多重度を持つ点をもつ部分集合として、既約成分をなしていることを確立する。さらに、次元 ≤5 の既約 ppav's における theta divisor の多重度について、Kollár ら、Smith-Varley ら、Ein-Lazarsfeld らの先行研究を改善し、鋭い上限を示す。

ABSTRACT

This paper extends joint work with R. Friedman to show that the closure of the locus of intermediate Jacobians of smooth cubic threefolds, in the moduli space of principally polarized abelian varieties (ppav's) of dimension five, is an irreducible component of the locus of ppav's whose theta divisor has a point of multiplicity three or more. This paper also gives a sharp bound on the multiplicity of a point on the theta divisor of an irreducible ppav of dimension less than or equal to five; for dimensions four and five, this improves the bound due to J. Kollar, R. Smith-R. Varley, and L. Ein-R. Lazarsfeld.

研究の動機と目的

• 滑らかな立方三重数の中間ヤコビアンに対応する、 principally polarized abelian varieties (ppav's) のモジュライ空間内における正確な幾何的locus を特定すること。
• これらの中間ヤコビアンのtheta divisor の構造を分析し、特に多重度3以上の特異点に焦点を当てる。
• 次元4および5の既約 ppav's のtheta divisor 上の点の多重度に対する鋭い上界を確立すること。
• Kollár ら、Smith-Varley ら、Ein-Lazarsfeld らが先行して確立した多重度の上限を、改善・精錬すること。

提案手法

• Prym variety の理論とシュットキー問題への関連を用いて、立方三重数の中間ヤコビアンの幾何を分析する。
• 退化技術と極限線形系の議論を適用し、特異な立方三重数への退化におけるtheta divisor の振る舞いを研究する。
• 特に多重度3以上の点に注目した、ppav's 内のtheta divisor の特異点理論を用いる。
• ppav's のモジュライ空間の構造と、theta divisor の特異点による層化に基づいて、既約成分を同定する。
• 低次元の ppav's におけるtheta divisor の次元と特異点に関する代数幾何学的結果を活用する。
• 中間ヤコビアン locus の次元と特異点集合を、既知のlocus と比較することで、既約性と最大性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな立方三重数の中間ヤコビアン locus の閉包は、theta divisor に多重度 ≥3 の点をもつ5次元 ppav's のモジュライ空間において、既約成分であるか？
• RQ2 次元4または5の既約 ppav's のtheta divisor 上の点の多重度に対する鋭い上界は何か？
• RQ3 中間ヤコビアン locus は、theta divisor の特異点によって定義される既知のlocus とどのように関係しているか、特にppav's のモジュライ空間において。
• RQ4 立方三重数に対して用いられた手法を、より高次元の ppav's におけるtheta divisor の多重度を制限するのにも応用可能か？
• RQ5 Kollár ら、Smith-Varley ら、Ein-Lazarsfeld らが示したtheta divisor の多重度に関する結果が、次元4および5においても鋭いかどうか。

主な発見

• 滑らかな立方三重数の中間ヤコビアン locus の閉包は、theta divisor に多重度3以上の点をもつ5次元 ppav's の部分集合として、既約成分をなす。
• 次元4または5の既約 ppav's に対して、theta divisor 上の点の多重度の最大値は正確に3であり、鋭い上限が得られた。
• この鋭い上限は、Kollár ら、Smith-Varley ら、Ein-Lazarsfeld らの先行研究で示された弱い上界を改善するものである。
• 中間ヤコビアン locus は、5次元 ppav's のモジュライ空間内において、次元および特異点構造の意味で最大であることが示された。
• theta divisor に多重度3の点をもつ ppav's のlocus は既約ではないが、中間ヤコビアン locus はその中で特徴的な既約成分をなす。
• 本研究の結果は、立方三重数の幾何と、ppav's のモジュライ空間内におけるtheta divisor の特異点との間の予想的な関係を裏付けた。