[論文レビュー] Pseudo-Anosovs on closed surfaces having small entropy and the Whitehead sister link exterior

Eiko Kin, Mitsuhiko Takasawa|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ホワイトヘッド・シスターズ・リンク外部のドンフィリングのファイブレーションのモノドロミーを分析することにより、閉じた曲面の genus g における最小倍率を持つ擬アイルス型写像類を研究する。多項式の族 $ f_{(k,\ell)}(t) = t^{2k} - t^{k+\ell} - t^k - t^{k-\ell} + 1 $ を用いて、$ \delta_g $ および $ \delta_g^+ $ の新たな上界が得られ、ヒロナカの境界を改善し、$ g \equiv 1,5,7,9 \pmod{10} $ のとき $ \delta_g^+ < \delta_{g+1}^+ $ が成り立つことを示し、$ g=5,8,13 $ に対して明示的な倍率が得られた。

ABSTRACT

Let $δ_g$ be the minimal dilatation for pseudo-Anosovs on a closed surface $Σ_g$ of genus $g$ and let $δ_g^+$ be the minimal dilatation for pseudo-Anosovs on $Σ_g$ with orientable invariant foliations. This paper concerns the pseudo-Anosovs which occur as the monodromies on closed fibers for Dehn fillings of $N(r)$ for each $r \in \{-3/2, -1/2, 2\}$ of the magic manifold $N$. The manifold $N(-3/2)$ is homeomorphic to the Whitehead sister link exterior. We consider the set $Λ_g(r)$ (resp. $Λ_g^+(r)$) which consists of the dilatations of all monodromies (resp. monodromies having orientable invariant foliations) on a closed fiber of genus $g$ for Dehn fillings of $N(r)$, where the fillings are on the boundary slopes of fibers of $N(r)$. Hironaka obtained upper bounds of $δ_g$ and $δ_g^+$ by computing $\min Λ_g(-1/2)$ and $\min Λ^+_g(-1/2)$ respectively. We prove that $\min Λ_g(-3/2)&lt; \min Λ_g(-1/2)$ for $g \equiv 0,1,5,6,7,9 \pmod{10}$ and $\min Λ^+_g(-3/2)&lt; \min Λ^+_g(-1/2)$ for $g \equiv 1,5,7,9 \pmod{10}$. These inequalities improve the previous upper bounds of $δ_g$ and $δ_g^+$ for these $g$. We prove that for each $r \in \{-3/2, -1/2, 2\}$ and each $g \ge 3$, there exists a monodromy $Φ_g(r)$ on a closed fiber of genus $g $ for a Dehn filling of $N(r)$ such that its dilatation $λ(Φ_g(r))$ satisfies $\displaystyle \lim_{g o \infty} |χ(Σ_g)| \log λ(Φ_g(r)) = 2 \log((3+\sqrt{5})/2)$.

研究の動機と目的

• 閉じた曲面の genus $ g $ における擬アイルス型写像類の最小倍率 $ \delta_g $ および $ \delta_g^+ $ の改善された上界を特定すること。
• ホワイトヘッド・シスターズ・リンク外部 $ W $ のドンフィリングにおけるファイブレーションのモノドロミーを分析し、特に $ W $ のファイバーの境界勾配に対応するものに注目すること。
• 特に $ \lim_{g\to\infty} g\log\delta_g $ の漸近的挙動を調査すること。
• 特に $ g \geq 3 $ のときの $ \delta_g $ と $ \delta_g^+ $ の単調性および等価性に関する未解決問題を解明すること。
• 既知の結果を $ g=2,3,4,5,8 $ に拡張し、ドンフィリングから得られるファイバリング3次元多様体を用いて $ g=5,8,13 $ における新しい値を計算すること。

提案手法

• 著者たちは、$ k>0 $、$ -k < \ell < k $ を満たす多項式の族 $ f_{(k,\ell)}(t) = t^{2k} - t^{k+\ell} - t^k - t^{k-\ell} + 1 $ を用い、その最大の実根 $ \lambda_{(k,\ell)} $ が最小倍率の候補を与えることを示した。
• 魔法の多様体 $ N $（3チェーンリンクの外部）のドンフィリング $ N(-3/2) $ におけるファイブレーションのモノドロミーを分析した。$ N(-3/2) $ はホワイトヘッド・シスターズ・リンク外部と同相である。
• 既知のファイバリング構造に対応する境界勾配を持つファイバーに制限することで、有向擬アイルス型写像を生成するモノドロミーを同定した。
• Corollary 4.5 および Proposition 4.26 を適用し、$ \lambda_{(k,\ell)} $ が $ \Lambda_g^+(-3/2) $、つまり $ N(-3/2) $ からの genus $ g $ の曲面における有向擬アイルス型モノドロミーの倍率の集合に属する条件を特定した。
• $ k \to \infty $ のときの $ k\log\lambda_{(k,\ell)} \to \log((3+\sqrt{5})/2) $ の漸近的挙動を用いて、$ \delta_g $ の成長を制限した。
• $ g=5,8,13 $ に対して明示的な倍率を計算し、$ \delta_5^+ = \lambda_{(7,4)} \approx 1.17628 $、$ \delta_8^+ = \lambda_{(10,1)} \approx 1.12876 $、$ \delta_{13}^+ \approx 1.07169 $ を得た。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた曲面の genus $ g $ における擬アイルス型写像の最小倍率 $ \delta_g $ および $ \delta_g^+ $ の改善された上界は何か？
• RQ2 列 $ \{\delta_g^+\}_{g \geq 2} $ は単調に減少するか？また、どの $ g $ に対して $ \delta_g < \delta_g^+ $ が成り立つか？
• RQ3 ホワイトヘッド・シスターズ・リンク外部のドンフィリングにおけるファイブレーションのモノドロミーは、新たな最小倍率例を生じるか？
• RQ4 $ g\log\delta_g $ の漸近的挙動は何か？ また、以前の境界と比較するとどうなるか？
• RQ5 最小倍率 $ \delta_g^+ $ は、魔法の多様体の特定のドンフィリングからのモノドロミーとして実現可能か？

主な発見

• $ g \equiv 0,1,5,6,7,9 \pmod{10} $ のとき、$ \delta_g $ について新たな上界が得られ、$ g \equiv 0,1,3,4 \pmod{6} $ のときのヒロナカの境界 $ \delta_g \leq \lambda_{(g+1,3)} $ を改善した。
• $ g \equiv 1,5,7,9 \pmod{10} $ のとき、$ \delta_g^+ $ についての改善された上界が得られ、$ \delta_5^+ = \lambda_{(7,4)} \approx 1.17628 $、$ \delta_8^+ = \lambda_{(10,1)} \approx 1.12876 $、$ \delta_{13}^+ \approx 1.07169 $ が得られた。
• $ g \equiv 1,5,7,9 \pmod{10} $ のとき、$ \delta_g^+ < \delta_{g+1}^+ $ が証明され、列 $ \{\delta_g^+\} $ が厳密に単調減少でないことが示され、厳密単調減少性に対する反例が得られた。
• 著者たちは、$ g \equiv 7,9 \pmod{10} $ のとき $ \min\Lambda_g^+(-3/2) = \lambda_{(g+2,2)} $、$ g \equiv 1,5 \pmod{10} $ のとき $ \min\Lambda_g^+(-3/2) = \lambda_{(g+2,4)} $ であることを確立した。また、$ g=5 $ のみで $ \min\Lambda_g^+(-3/2) = \min\Lambda_g^+(-1/2) $ が成り立つ。
• 本稿は、$ N(-3/2) \in \mathcal{U}^+ $ であることを確認した。これは、有向擬アイルス型モノドロミーを持つファイブレーションを許容することを意味し、このモノドロミーは $ N(-37/18, -3/2, -8/3) $ に拡張可能であり、$ \delta_5^+ = \lambda_{(7,4)} $ を満たす。
• 漸近的上界 $ \limsup_{g\to\infty} g\log\delta_g \leq \log((3+\sqrt{5})/2) \approx 0.82653 $ が確立され、以前の上界を改善し、$ g \to \infty $ のとき $ \delta_g \to 1 $ となるという予想を確認した。