[論文レビュー] Pseudo-deterministic Proofs

Shafi Goldwasser, Ofer Grossman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、確率的多項式時間の検証者がプローバーと対話することで検索問題を解き、ランダムネスや悪意あるプローバーが存在する中でも、実行間で同じ標準解を高確率で出力することを保証する、擬似決定的インタラクティブプロトコル（psdAM）を導入する。主な貢献は、psdAMが、プロンプト-AM ∩ coAM へのオракルアクセスを持つ多項式時間の検索アルゴリズムで解ける問題を表していることの証明であり、また、NP完全問題に対する定数ラウンドのpsdAMプロトコルが存在すれば、多項式階層が崩壊することの証明である。

ABSTRACT

We introduce pseudo-deterministic interactive proofs (psdAM): interactive proof systems for search problems where the verifier is guaranteed with high probability to output the same output on different executions. As in the case with classical interactive proofs, the verifier is a probabilistic polynomial time algorithm interacting with an untrusted powerful prover. We view pseudo-deterministic interactive proofs as an extension of the study of pseudo-deterministic randomized polynomial time algorithms: the goal of the latter is to find canonical solutions to search problems whereas the goal of the former is to prove that a solution to a search problem is canonical to a probabilistic polynomial time verifier. Alternatively, one may think of the powerful prover as aiding the probabilistic polynomial time verifier to find canonical solutions to search problems, with high probability over the randomness of the verifier. The challenge is that pseudo-determinism should hold not only with respect to the randomness, but also with respect to the prover: a malicious prover should not be able to cause the verifier to output a solution other than the unique canonical one.

研究の動機と目的

• 検証者がランダムネスと信頼できないプローバーが存在する中でも、実行間で同じ標準解を一貫して出力する、擬似決定的インタラクティブプロトコル（psdAM）を形式化すること。
• 多項式階層に与える影響を考慮すると、NP完全問題に対するpsdAMプロトコルが存在するかを調査すること。
• psdAMと他の複雑性クラス（特に検索-BPP と 検索-NL）との関係を調査し、擬似決定的計算におけるオラクルの役割を特定すること。
• ランダムアルゴリズムに限らない範囲にまで擬似決定的性質を拡張し、証明系における一意な出力検証を可能にする。
• 数論、ラティス暗号、ゲーム理論における基本的問題に対する擬似決定的プロトコルの構築可能性を検討すること。

提案手法

• 検証者がプローバーと対話する際、自身のランダムネスに基づいて高確率で一意な標準解を出力するインタラクティブプロトコルとしてpsdAMを定義する。
• グラフ同型性問題に対する定数ラウンドのインタラクティブプロトコルを用い、複数の同型写像が存在する場合でも、検証者がすべての実行で同じ同型写像を出力することを保証する。
• 任意のNP完全問題に定数ラウンドのpsdAMプロトコルが存在するならば、多項式階層が崩壊することを証明し、一意なワーカーの存在への還元を用いる。
• すべての検索-BPPに属する問題に対して、無限に多くの入力長で成功する擬似決定的MAプロトコルが存在することを示し、検証者の実行時間が指数的でないことを保証する。
• すべての検索-NLに属する検索問題に対して、擬似決定的NLアルゴリズムが存在することを示し、すなわち、すべての非決定的ログ空間計算を擬似決定的に再定義可能であることを示す。
• psdAMを、プロンプト-AM ∩ coAM へのオラクルアクセスを持つ多項式時間の検索アルゴリズムと同等であると特徴づける。ここで、クエリはプロンプト条件を満たす必要がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NP完全問題に対して擬似決定的インタラクティブプロトコルを構築可能か。その複雑性理論的帰結は何か。
• RQ2 psdAMとプロンプト-AM ∩ coAM へのオラクルアクセスとの間に関係があるか。この特徴づけを用いて、複雑性クラスを分離または崩壊させられるか。
• RQ3 検索-BPP に属するすべての問題が擬似決定的MAプロトコルを持つか。入力長と時間計算量に制限はあるか。
• RQ4 数論における基本的問題（例：原始根や素数の特定）に対して、擬似決定的インタラクティブプロトコルを構築可能か。
• RQ5 psdAMプロトコルにおけるプローバーの最小計算能力は何か。プライベートコインとパブリックコインのバリアントではどのように異なるか。

主な発見

• グラフ同型性問題に対して、定数ラウンドのpsdAMプロトコルが存在し、検証者がすべての実行で同じ同型写像を高確率で出力する。
• 任意のNP完全問題に定数ラウンドのpsdAMプロトコルが存在するならば、多項式階層が崩壊する。これは、このようなプロトコルに強い制限があることを示している。
• すべての検索-BPPに属する問題に対して、無限に多くの入力長で成功する擬似決定的MAプロトコルが存在し、検証者の実行時間は指数的でない。
• すべての検索-NLに属する検索問題は、擬似決定的NLに属する。これは、すべての非決定的ログ空間アルゴリズムを一意な標準出力を生成するように変換可能であることを意味する。
• psdAMプロトコルのクラスは、プロンプト-AM ∩ coAM へのオラクルアクセスを持つ多項式時間の検索アルゴリズムのクラスと同等である。ここで、クエリはプロンプト条件を満たす必要がある。
• 擬似決定的プロトコルはゼロ知識設定へ拡張可能であり、検証者は標準解とその一意性のみを学習し、追加情報は得ない。