[論文レビュー] Pseudo-entropy for descendant operators in two-dimensional conformal field theories

Song He, Jie Yang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2023

Quantum many-body systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元有理的 conformal field theory (RCFT) における局所的励起状態（主に従属演算子によって生成）の、時間発展の後期における擬似Rényiエントロピーの振る舞いを調査する。2つの従属演算子が同じVirasoro生成子によって同一の一次元演算子から生成される場合、擬似Rényiエントロピーの時間後期における超過分は、一次元演算子の量子次元の対数に一致する。これは、エンタングルメントエントロピーと類似した振る舞いを示す。一方、生成子の線形結合から生じる場合、ホロモーフィックとアンチホロモーフィック成分の混合に起因する追加寄与項が現れ、これは有効な有限次元遷移行列の擬似Rényiエントロピーとして表現可能である。

ABSTRACT

We study the late-time behaviors of pseudo-(Rényi) entropy of locally excited states in rational conformal field theories (RCFTs). To construct the transition matrix, we utilize two non-orthogonal locally excited states that are created by the application of different descendant operators to the vacuum. We show that when two descendant operators are generated by a single Virasoro generator acting on the same primary operator, the late-time excess of pseudo-entropy and pseudo-Rényi entropy corresponds to the logarithmic of the quantum dimension of the associated primary operator, in agreement with the case of entanglement entropy. However, for linear combination operators generated by the generic summation of Virasoro generators, we obtain a distinct late-time excess formula for the pseudo-(Rényi) entropy compared to that for (Rényi) entanglement entropy. As the mixing of holomorphic and antiholomorphic generators enhances the entanglement, in this case, the pseudo-(Rényi) entropy can receive an additional contribution. The additional contribution can be expressed as the pseudo-(Rényi) entropy of an effective transition matrix in a finite-dimensional Hilbert space.

研究の動機と目的

• 局所的励起状態における有理的 conformal field theory (RCFT) の時間後期における擬似Rényiエントロピーの振る舞いを理解すること。
• Virasoro生成子によって生成される従属演算子の構造が、遷移行列およびそれによる擬似エントロピーに与える影響を分析すること。
• 時間後期における擬似Rényiエントロピーの超過分がエンタングルメントエントロピーとどのように一致するかを、特にホロモーフィックとアンチホロモーフィック生成子の混合寄与を含めた場合に比較すること。
• 非直交な従属状態の重ね合わせに起因する、擬似Rényiエントロピーにおける追加寄与項の同定と特徴付け。

提案手法

• 2つの非直交な局所的励起状態（従属演算子によって生成）から遷移行列 $ \mathcal{T}^{\psi|\varphi} = \frac{|\psi\rangle\langle\varphi|}{\langle\varphi|\psi\rangle} $ を構築する。
• 部分系 $ A $ における縮約された遷移行列 $ \mathcal{T}_A^{\psi|\varphi} = \text{tr}_B[\mathcal{T}^{\psi|\varphi}] $ を計算する。これは非エルミート的であり、対数的取り扱いに注意が必要である。
• 無限次元ヒルベルト空間における分岐カットの問題を避けるために、$ n \geq 2 $ の擬似Rényiエントロピー $ S_A^{(n)} = \frac{1}{1-n}\log\text{tr}[(\mathcal{T}_A^{\psi|\varphi})^n] $ を用いる。
• コンformal field theory の技術を用いて、従属演算子を含む相関関数の時間後期における漸近的振る舞いを分析する。
• 演算子 $ \mathcal{O}^{(-n)} $ と $ \mathcal{O}^{(-m)\dagger} $ を含む4点関数の主要項の振る舞いを導出し、それらを遷移行列固有値スペクトルにマッピングする。
• 混合生成子の場合の時間後期における追加寄与項を、有効な有限次元遷移行列の擬似Rényiエントロピーとして表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元RCFTにおける従属演算子によって生成される局所的励起状態の、時間後期における擬似Rényiエントロピーはどのように振る舞うか？
• RQ2 2つの従属演算子が同じVirasoro生成子によって同一の一次元演算子から生成される場合、時間後期における擬似Rényiエントロピーの超過分は、一次元演算子の量子次元の対数に一致するか？
• RQ3 2つの励起状態がVirasoro生成子の線形結合によって生成される場合、時間後期における擬似Rényiエントロピーはどのように変化するか？
• RQ4 混合生成子の場合に生じる擬似Rényiエントロピーの追加寄与項は、有効な遷移行列を用いて体系的に記述可能か？
• RQ5 ホロモーフィックとアンチホロモーフィック生成子の混合は、時間後期におけるエンタングルメント構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 2つの従属演算子が同一のVirasoro生成子によって一次元演算子から生成される場合、時間後期における擬似Rényiエントロピーの超過分は $ \log d_p $ に一致する。ここで $ d_p $ は一次元演算子の量子次元を表し、エンタングルメントエントロピーの場合と一致する。
• Virasoro生成子の線形結合から生じる場合、時間後期における擬似Rényiエントロピーの超過分はエンタングルメントエントロピーの公式から逸脱し、非直交状態の設定において特徴的な振る舞いを示す。
• 混合生成子の場合に生じる追加寄与項は、ホロモーフィックとアンチホロモーフィック成分の混合に起因する、強化されたエンタングルメントに起因する。
• この余分な寄与項は、有限次元ヒルベルト空間における有効な遷移行列の擬似Rényiエントロピーとして定量的に表現可能である。
• 時間後期における4点関数 $ \langle \mathcal{O}^{(-n)}(1)\mathcal{O}^{(-m)\dagger}(2)\mathcal{O}^{(-n)}(3)\mathcal{O}^{(-m)\dagger}(4) \rangle_{\Sigma_2} $ の主要項の漸近的振る舞いが導出され、$ \Delta $, $ c $, および演算子のスピンに明示的な依存性を示している。
• 完全な時間後期における超過分の式には、$ \Delta $, $ \Gamma(m+n) $, および $ (-1)^n $ に比例する項が含まれ、高次の補正項には $ \Gamma(m-1) $, $ \Gamma(n-1) $, および $ \Gamma(m+n) $ が含まれており、遷移行列固有値スペクトルの非自明な構造を反映している。