[論文レビュー] Pseudo-Finsleroid metric function of spatially anisotropic relativistic type

G. S. Asanov|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2015

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間的・空間的非一様性に起因する1つの空間的優先方向を有する系においても、相対論的指示体の曲率を一定に保つ4次元の擬Finslerイド度量関数を導入する。3次元Finslerイド空間を相対論的符号 (+---) に拡張することで、角度変数 η, θ, φ を用い、接ベクトルに依存する度量テンソルを導出し、非自明な曲率テンソルを持つ新たな相対論的運動論的および力学的枠組みを構築する。

ABSTRACT

The paper contributes to the important and urgent problem to extend the physical theory of space-time in a Finsler-type way under the assumption that the isotropy of space is violated by a single geometrically distinguished spatial direction which destroys the pseudo-Euclidean geometric nature of the relativistic metric and space. It proves possible to retain the fundamental geometrical property that the indicatrix should be of the constant curvature. Similar property appears to hold in the three-dimensional section space. The last property was the characteristic of three-dimensional positive-definite Finsleroid space proposed and developed in the previous work, so that the present paper lifts that space to the four-dimensional relativistic level. The respective pseudo-Finsleroid metric function is indicated. Numerous significant tensorial and geometrical consequences have been elucidated. \ses {\bf Keywords:} Finsler metrics, relativistic spaces.

研究の動機と目的

• 3次元の正定値Finslerイド空間を、時空符号 (+---) を持つ4次元相対論的枠組みに拡張すること。
• 空間的優先ベクトル場が存在する状況下でも、指示体の曲率が一定（−H²に等しい）である性質を維持すること。
• 空間的非一様性下でも指示体の定曲率性を保ちつつ、擬ユークリッド相対性理論を一般化するFinsler度量関数 F(x,y) を構成すること。
• 3次元から4次元への代数的Finslerイド構造の拡張に伴う課題を、η, θ, φ の明示的および暗黙的依存関係を導入することで解決すること。

提案手法

• 度量関数 F は F = y⁰V として構成され、V は簡単な積分を解いて得られる、相対論的角ηおよび空間的成分に依存する関数である。
• 角度変数 η, θ, φ は双曲的、方位角的、極角的角として定義され、φ および θ は H と p を含む三角関数および双曲線関数を用いて表現される。
• r = r(x,η) という関数が導入され、これは代数的に逆転できないため、η が yⁱ に暗黙的に依存し、∂η/∂yⁱ の明示的表現が得られない。
• 単位ベクトル lⁱ = yⁱ/F は、η, θ, φ を用いて閉形式の代数的表現が可能であり、これにより接ベクトルに依存するFinsler度量テンソル gᵢⱼ = gᵢⱼ(x,y) の計算が可能になる。
• 特徴的なスカラー H および p を幾何構造に埋め込むことで、指示体曲率が常に −H² に保たれることを保証する。
• 優先的な空間的方向を導入することにより、回転対称性を破るが、重要な幾何的不変量を維持するように、擬ユークリッド枠組みを一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの空間的ベクトル場に起因する空間的非一様性下でも、定曲率の指示体を保つ4次元の擬Finslerイド度量関数を構築することは可能か？
• RQ2 曲率が一定の3次元Finslerイド空間を、符号 (+---) を持つ相対論的(1+3)次元時空に拡張することは可能か？
• RQ3 度量関数 F(x,y) が代数的扱いやすさと幾何的整合性を保つように、角度変数 η, θ, φ をどのように定義できるか？
• RQ4 度量が接ベクトル yⁱ に明示的に依存する場合、Finsler度量テンソルおよび曲率構造にどのような影響が生じるか？
• RQ5 異方性パラメータ p を 1 に設定した場合、提案された度量は既知の擬Finslerイド極限に回復するか？

主な発見

• 提案された擬Finslerイド度量関数 F(x,y) は、−H² に等しい定曲率の指示体を維持し、非一様時空への擬ユークリッド性の一般化を実現する。
• 度量テンソル gᵢⱼ は接ベクトル yⁱ に明示的に依存し、リーマン幾何における場合とは異なり、非自明な曲率テンソルを持つ。
• 単位ベクトル lⁱ = yⁱ/F は角度 η, θ, φ を用いて閉形式の代数的表現が可能であり、幾何的対象の直接計算が可能になる。
• F = y⁰V における関数 V は積分により明示的に導出され、V² = (1/(C₂)²)(C₂ + g₋|w|)^(g₊/H)(C₂ + g₊|w|)^(-g₋/H) が得られる。ここで g₊ および g₋ は H で定義される。
• 空間的等方的極限 (p=1) において、度量は先行研究 [5–10] で用いられた既知の形に還元され、一貫性が確認される。
• 関数 r = r(x,η) の複雑さにより、η = η(x,y) は代数的に逆転できないため、導関数 ∂η/∂yⁱ および ∂θ/∂yⁱ の明示的表現が制限される。