[論文レビュー] Pseudo-Hermiticity versus PT Symmetry: The structure responsible for the reality of the spectrum of a non-Hermitian Hamiltonian

Alí Mostafazadeh|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2001

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非ヒルベルト型ハミルトニアンにおけるスペクトルの実数性を説明する統一的枠組みとして擬似ヒルベルト性を導入している。すべてのPT対称ハミルトニアンが擬似ヒルベルト的であり、擬似ヒルベルト性が実固有値を保証する基本的構造であることを示している。擬似ヒルベルト量子力学の理論的基盤を確立し、ホイーリング＝デュイット方程式や実スペクトルを持つハミルトニアンのクラスといった具体的なモデルに応用している。

ABSTRACT

We introduce the notion of pseudo-Hermiticity and show that every Hamiltonian with a real spectrum is pseudo-Hermitian. We point out that all the PT-symmetric non-Hermitian Hamiltonians studied in the literature belong to the class of pseudo-Hermitian Hamiltonians, and argue that the basic structure responsible for the particular spectral properties of these Hamiltonians is their pseudo-Hermiticity. We explore the basic properties of general pseudo-Hermitian Hamiltonians, develop pseudo-supersymmetric quantum mechanics, and study some concrete examples, namely the Hamiltonian of the two-component Wheeler-DeWitt equation for the FRW-models coupled to a real massive scalar field and a class of pseudo-Hermitian Hamiltonians with a real spectrum.

研究の動機と目的

• 非ヒルベルト型ハミルトニアンにおけるスペクトルの実数性を規定する背後にある数学的構造を特定すること。
• すべてのPT対称非ヒルベルト型ハミルトニアンが擬似ヒルベルト的であることを確立すること。
• 擬似超対称量子力学の理論的枠組みを構築すること。
• 具体的な物理的例の分析、特に質量のあるスカラー場と結合したFRW宇宙論の2成分ホイーリング＝デュイットハミルトニアンおよび実スペクトルを持つ擬似ヒルベルト系のクラス。

提案手法

• あるヒルベルト的で可逆な演算子ηを用いて、H† = ηHη⁻¹ という条件により擬似ヒルベルト性を定義する。
• 実スペクトルを持つ任意のハミルトニアンが、必ず擬似ヒルベルト的であることを証明する。
• すべてのPT対称ハミルトニアンが、擬似ヒルベルト性の条件を満たすことを示す。
• 擬似ヒルベルト対称性に基づいて、擬似超対称量子力学の一般形式を構築する。
• FRW宇宙論の2成分ホイーリング＝デュイット方程式に、質量のあるスカラー場が結合した系に形式を適用する。
• 具体的な擬似ヒルベルトハミルトニアンのクラスを、明示的に実スペクトルを持つように分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ヒルベルト型ハミルトニアンにおけるスペクトルの実数性を保証する数学的条件は何か？
• RQ2 量子系における擬似ヒルベルト性とPT対称性の関係は何か？
• RQ3 擬似ヒルベルト性に基づいて、非ヒルベルト型量子力学の統一的枠組みを構築できるか？
• RQ4 擬似ヒルベルト性は超対称量子力学にどのような意味を持つのか？
• RQ5 ホイーリング＝デュイット方程式のような物理的モデルにおいて、擬似ヒルベルト性の構造はどのように現れるか？

主な発見

• 実スペクトルを持つすべての非ヒルベルト型ハミルトニアンは、擬似ヒルベルト的であり、擬似ヒルベルト性が実スペクトルの必要条件であることが確立された。
• すべてのPT対称非ヒルベルト型ハミルトニアンは本質的に擬似ヒルベルト的であり、PT対称性がより広範な数学的枠組みに統合された。
• 擬似ヒルベルト演算子の性質に基づいて、擬似超対称量子力学を体系的に構築できる。
• 質量のあるスカラー場と結合したFRWモデルの2成分ホイーリング＝デュイットハミルトニアンが擬似ヒルベルト的であることが示された。
• 明示的に実スペクトルを持つ擬似ヒルベルトハミルトニアンのクラスが同定され、理論的枠組みの妥当性が確認された。