[論文レビュー] Pseudo parallel contact CR-Submanifolds of Kenmotsu manifolds

Shyamal Kumar Hui, Pradip Mandal|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リーマン接続および半対称計量接続を用いて、ケンモツス多様体内の擬似平行接触CR部分多様体を考察する。チャキおよびデシュツの意味での擬似平行性が特定の条件下で同値であることを確立し、接続形式または曲率関数に特定の制約を課した場合、このような部分多様体が全測地的であるための必要十分条件が、半対称計量接続に関する擬似平行性であることを証明する。

ABSTRACT

The present paper deals with the study of pseudo parallel (in the sense of Chaki and in the sense of Deszcz) contact CR-submanifolds with respect to Levi-Civita connection as well as semisymmetric metric connection of Kenmotsu manifolds and prove that these corresponding two classes are equivalent with a certain condition.

研究の動機と目的

• リーマン接続および半対称計量接続を用いて、ケンモツス多様体内の擬似平行接触CR部分多様体を研究すること。
• 接触CR部分多様体におけるチャキの意味とデシュツの意味での擬似平行性の同値性を調査すること。
• 半対称計量接続に関する擬似平行部分多様体が全測地的であるための条件を特定すること。
• ケンモツス幾何学の文脈において、異なる種類の擬似平行性と全測地性の関係を確立すること。

提案手法

• ケンモツス多様体上でのリーマン接続および半対称計量接続を用い、チャキおよびデシュツの意味での擬似平行性を定義する。
• 部分多様体およびその正規バンドル上の誘導接続を関連付けるために、ガウスおよびヴァインガルテンの公式を適用する。
• リーマン曲率テンソル、第二基本形式、接続形式を含む曲率恒等式を導出する。
• 1形式αおよび曲率関数L₁に条件を課し、第二基本形式hに与える影響を分析する。
• 恒等式(L₁ - 2)h(Y,Z) = 0を用いて、L₁ ≠ 2のときhが消えることを示し、全測地性を示す。
• 条件α(ξ) ≠ -2を適用して、チャキの擬似平行性の場合における接続形式の影響を排除する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケンモツス多様体内の擬似平行接触CR部分多様体が、チャキおよびデシュツの定義で同値となる条件は何か？
• RQ2 半対称計量接続は、ケンモツス多様体内の接触CR部分多様体の擬似平行性および測地性にどのように影響するか？
• RQ3 半対称計量接続の文脈において、擬似平行性（チャキおよびデシュツ）と全測地性の関係は何か？
• RQ4 特定の曲率または接続の制約下で、第二基本形式hが消えることはあり得るか？ その場合、全測地性が成立するか？
• RQ5 構造ベクトル場ξは、擬似平行性の種類の同値性を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• ケンモツス多様体内の擬似平行接触CR部分多様体が、1形式αに関するある条件を満たす場合、チャキおよびデシュツの定義で同値である。
• 半対称計量接続に関して、α(ξ) ≠ -2のとき、チャキおよびデシュツの意味での擬似平行性は同値である。
• 接触CR部分多様体が全測地的であるための必要十分条件は、半対称計量接続に関してチャキの意味での擬似平行性であることである。ただしα(ξ) ≠ -2を仮定する。
• 接触CR部分多様体が全測地的であるための必要十分条件は、半対称計量接続に関してデシュツの意味での擬似平行性であることである。ただしL₁ ≠ 2を仮定する。
• 半対称計量接続に関して、L₁ = 0（半平行部分多様体）である場合、全測地性と同値である。
• 全測地性、平行性、半平行性、チャキの擬似平行性（α(ξ) ≠ -2）、デシュツの擬似平行性（L₁ ≠ 2）という5つの条件は、半対称計量接続の下ですべて同値である。