[論文レビュー] Pseudo-physical measures for typical continuous maps of the interval

Eleonora Catsigeras, Serge Troubetzkoy|arXiv (Cornell University)|May 29, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、典型的な連続区間写像における擬物理的測度の性質を調査し、すべてのエルゴード測度が擬物理的であることを証明するとともに、擬物理的測度の集合がエルゴード測度および周期軌道上に台を持つ原子測度の両方の閉包であることを示している。この集合が不変測度空間においてメーガーであることを確立し、各 m ≥ 2 に対して正確に log m のエントロピーをもつ無限大のエントロピーおよび無限大のエントロピーを持つ例を構成することで、エントロピー関数が上半連続でも下半連続でもないことが示された。

ABSTRACT

We study the measure theoretic properties of typical C 0 maps of the interval. We prove that any ergodic measure is pseudo-physical, and conversely, any pseudo-physical measure is in the closure of the ergodic measures, as well as in the closure of the atomic measures. We show that the set of pseudo-physical measures is meager in the space of all invariant measures. Finally, we study the entropy function. We construct pseudo-physical measures with infinite entropy. We also prove that, for each m $\ge$ 1, there exists infinitely many pseudo-physical measures with entropy log m, and deduce that the entropy function is neither upper semi-continuous nor lower semi-continuous.

研究の動機と目的

• 区間上の典型的な $C^0$ 写像の測度論的性質、特に擬物理的測度の特徴づけを目的とする。
• 一般的な $C^0$ 環境下でエルゴード測度、原子測度、および擬物理的測度の関係を特定すること。
• 擬物理的測度の集合の位相的性質およびエントロピー的性質（サイズおよびエントロピー関数における挙動）を分析すること。
• 特に無限大のエントロピーおよび各 $m \geq 2$ に対して正確に $\log m$ のエントロピーを持つ特定のエントロピー値をもつ擬物理的測度の例を構成すること。

提案手法

• 区間 $[0,1]$ 上のボレル確率測度の空間における弱*位相を、連続関数の可算稠密族を用いて定義された距離によって扱う。
• 軌道に 沿う経験的測度の弱*極限の集合 $p\omega(x)$ を用い、$p\omega(x)$ が正のリーマン測度の集合上で $\mu$ から $\varepsilon$ 以内に近い測度であるような測度を擬物理的測度として定義する。
• 区間の分割と dyadic に類似した分割における測度の差を制御するための技術的近似補題を用いる。
• 固定点の摂動を用いた原子倍増加カスケードを構築し、制御されたエントロピーをもつエルゴード的擬物理的測度を支持する不変集合を生成する。
• 記号的力学およびシリンダ分割を用いて測度的エントロピーを計算し、特に $k$-ブロック系において1記号あたりのエントロピーが $k\log 2$ に収束することを示す。
• バーレーのカテゴリー論法を適用し、特定の性質（例：原子倍増加カスケード）をもつ写像の集合が $G_\delta$ 稠密集合であることを証明し、したがって典型的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 典型的な区間写像に対して、すべてのエルゴード測度は擬物理的であるか？
• RQ2 擬物理的測度の集合は、エルゴード測度の集合および周期軌道上に台を持つ原子測度の集合の両方の閉包か？
• RQ3 不変測度空間内における擬物理的測度の集合の位相的サイズはいかなるものか？
• RQ4 擬物理的測度は無限大の測度的エントロピーをもつことができるか、または各 $m \geq 2$ に対して正確に $\log m$ のエントロピーをもつことができるか？
• RQ5 測度的エントロピー関数は、不変測度の空間あるいは擬物理的測度の部分集合上において上半連続または下半連続であるか？

主な発見

• 典型的な $f \in \mathcal{C}[0,1]$ に対して、すべてのエルゴード測度は擬物理的である。
• 擬物理的測度の集合は、エルゴード測度および周期軌道上に台を持つ原子測度の両方の閉包である。
• 擬物理的測度の集合は不変測度空間においてメーガーであり、内部が空である。
• 各 $m \geq 2$ に対して、正確に $\log m$ の測度的エントロピーをもつ無限個のエルゴード的擬物理的測度が存在する。
• 原子倍増加カスケードを用いて構成された、無限大の測度的エントロピーをもつエルゴード的擬物理的測度が存在する。
• 測度的エントロピー関数は、擬物理的測度の集合に制限しても、上半連続でも下半連続でもない。