[論文レビュー] Pseudo-Power Avoidance

Ehsan Chiniforooshan, Lila Kari+1 more|ArXiv.org|Nov 11, 2009

Algorithms and Data Compression参考文献 20被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、相反的自己同型写像の下での擬似k乗自由語を調査し、DNAに由来する補完性を考慮したテューエの反復回避理論を一般化する。無限個の擬似k乗自由語が存在するアルファベットと自己同型写像の組み合わせを分類し、効率的なアルゴリズムを提示する：擬似平方自由性の検査にはO(n)、擬似立方自由性の検査にはO(n²)、一般のkについてはO(n² log n)のアルゴリズムを用いる。

ABSTRACT

Repetition avoidance has been studied since Thue's work. In this paper, we considered another type of repetition, which is called pseudo-power. This concept is inspired by Watson-Crick complementarity in DNA sequence and is defined over an antimorphic involution $ϕ$. We first classify the alphabet $Σ$ and the antimorphic involution $ϕ$, under which there exists sufficiently long pseudo-$k$th-power-free words. Then we present algorithms to test whether a finite word $w$ is pseudo-$k$th-power-free.

研究の動機と目的

• どのアルファベットと相反的自己同型写像の下で無限個の擬似k乗自由語が存在するかを特定すること。
• k ≥ 2のとき、擬似k乗自由な無限語が構成可能な条件を分類すること。
• 有限語が擬似k乗自由因子を含まないかどうかをテストするための効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 古典的な反復回避結果（例えばテューエの結果）を、DNAのワトソン＝クリック相補性に由来する相反的自己同型写像の文脈に拡張すること。

提案手法

• 置換と鏡像の合成として定義される相反的自己同型写像θを用い、標準的分解（θ = (a₀,a₁)⋯(a₂ₘ₋₂,a₂ₘ₋₁)·Mir）を導入する。
• 擬似k乗の検出に向け、rmp_w（右端最大周期性）、lmp_w（左端最大周期性）、cmp_w（中心付き最大周期性）の3つの主要な配列を導入する。
• サフィックス配列とLCP技術を用いて、rmp_w、lmp_w、cmp_wを線形時間で計算する。
• cmp_wとlmp_w配列を用いた重複周期性のチェックにより、擬似立方（xxϕ(x), ϕ(x)xx, xϕ(x)x）を検出する。
• インデックスをスキャンし、周期性の境界と距離を比較することで、すべての擬似立方形式を確認するためのO(n²)時間アルゴリズムを適用する。
• 周期性検出と重複チェックを組み合わせることで、任意のk ≥ 2に対して、語内にすべてのk乗擬似k乗を検出する一般のO(n² log n)時間アルゴリズムを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのアルファベットサイズと相反的自己同型写像の組み合わせで、無限個の擬似k乗自由語が存在するか。
• RQ2 k ≥ 4のとき、擬似k乗自由な無限語を構成可能か。その条件は何か。
• RQ3 k = 2, 3, および一般のkについて、有限語が擬似k乗自由であるかどうかをテストする計算量の複雑度は何か。
• RQ4 相反的自己同型写像の構造をどのように活用して、擬似k乗自由性のための効率的な決定アルゴリズムを設計できるか。

主な発見

• アルファベットサイズ ≤ 2のとき、無限個の擬似平方自由語は存在しない。サイズ ≥ 5のとき、任意の相反的自己同型写像に対してそのような語が存在する。
• アルファベットサイズ ≥ 3のとき、無限個の擬似立方自由語が存在し、これはすべてのk ≥ 4に対しても成り立つ。
• 本稿では、長さnの語の擬似平方自由性を検査するO(n)時間のアルゴリズムを提供する。
• 擬似立方自由性の検査にO(n²)時間のアルゴリズムを提示し、周期性配列の解析により正しさを証明する。
• 任意のk ≥ 2に対して、語内にすべてのk乗擬似k乗を検出する一般のO(n² log n)時間アルゴリズムを開発した。
• 擬似k乗自由な無限語の存在は、アルファベットサイズと使用される特定の相反的自己同型写像の両方に依存し、特にk = 2およびk = 3のとき顕著である。