[論文レビュー] Pseudo-quotients of algebraic actions and their application to character varieties

Ángel González-Prieto|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、代数的群作用の位相的動機付けに基づく擬商（pseudo-quotients）を導入する。これは、幾何的不変理論（GIT）商を一般化するもので、代数的構造ではなく位相的構造に焦点を当てる。この枠組みを用いて、自由群および曲面群のパラボリック構造（ジョルダン型）をもつSL₂(k)-表現多様体の仮想的類を計算し、特徴値0の体上でのグロチェンディーク環において、仮想的類の意味で一意的であることを示す。主な結果は、種数、穴の数、共役型といったパラメータを用いた、これらの表現多様体の仮想的類の明示的公式である。

ABSTRACT

In this paper, we propose a weak version of quotient for the algebraic action of a group on a variety, which we shall call a pseudo-quotient. They arise when we focus on the purely topological properties of good GIT quotients regardless of their algebraic properties. The flexibility granted by their topological nature enables an easier identification in geometric constructions than classical GIT quotients. We obtain several results about the interplay between pseudo-quotients and good quotients. Additionally, we show that in characteristic zero pseudo-quotients are unique up to virtual class in the Grothendieck ring of algebraic varieties. As an application, we compute the virtual class of $\mathrm{SL}_{2}(k)$-character varieties for free groups and surface groups as well as their parabolic counterparts with punctures of Jordan type.

研究の動機と目的

• 古典的GIT商の代わりに、代数的群作用に対して柔軟な位相的代替を構築すること。
• 代数幾何学における擬商と良いGIT商の間の関係を調査すること。
• 自由群および曲面群にパラボリック構造をもつSL₂(k)-表現多様体の仮想的類を計算すること。
• 特徴値0の体上、グロチェンディーク環における仮想的類の意味で、擬商の一意性を確立すること。
• 量子法の適用範囲を拡大するために、算術的および幾何的手法が到達できない範囲の表現多様体に対し、仮想的類の明示的公式を提供すること。

提案手法

• 良いGIT商のホモトピー型を保ちつつ代数的制約を緩和する、位相的商としての擬商を提唱する。
• 表現多様体を既約部分多様体と可約部分多様体に分けるストラティフィケーション技法を用い、仮想的類を計算する。
• ラックスモノイダルTQFTを介して量子法を適用し、多様体のグロチェンディーク環における仮想的類を計算する。
• グロチェンディーク環におけるカットアンドパースト関係を用い、複雑なストラトムを(k*)^s−1 や超平面補集合といった単純な成分に分解する。
• ストラトム上の安定化子作用（例：PGL₂）を解析し、ファイブレーションや軌道型分解を用いて商の仮想的類を計算する。
• πsとΠsの再帰的関係を用い、異なるストラトム（Xυ, X̺, Xir）からの寄与を統合することで、表現多様体の仮想的類の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的群作用に対して、GIT商の主要な不変量を保ちつつ、より弱く位相的に頑健な商をどのように定義できるか？
• RQ2 仮想的類の観点から、擬商と古典的良いGIT商の関係は何か？
• RQ3 パラボリック構造をもつ曲面群に対するSL₂(k)-表現多様体の仮想的類は、グロチェンディーク環で計算可能か？
• RQ4 特徴値0において、擬商が仮想的類の意味で一意的となる条件は何か？
• RQ5 ジョルダン型のパラボリック構造は、表現多様体の仮想的類にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 自由群にs個の穴をもつSL₂(k)-表現多様体の仮想的類は、[Xn,s ⋊ SL₂] = 2n(q−1)s qn−1 + (q³−q)ⁿ⁻¹(q²−1)ˢ である。
• 種数g ≥1でs ≥1個の穴をもつ曲面群に対して、仮想的類は [Xg,s ⋊ SL₂] = (q²−1)²ᵍ⁺ˢ⁻² q²𝒈−𝟐 + (−1)ˢ 2²𝒈 (q−1) q²𝒈−𝟐 (1−(1−q)ˢ⁻¹) + ½(q−1)²𝒈⁺𝒔−𝟐 q²𝒈−𝟐 (2²𝒈 + q−3) + ½(q+1)²𝒈⁺𝒔−𝟐 q²𝒈−𝟐 (2²𝒈 + q−1) である。
• r+個のジョルダンブロック、r−個の負のジョルダンブロック、t = −Idブロックをもつジョルダン型のパラボリック構造に対して、仮想的類はσ = (−1)ʳ⁻⁺ᵗ に依存する：σ = 1のとき、非ねじれケースに還元される。σ = −1のとき、可約表現は存在しない。
• ねじれケース（σ = −1）では、仮想的類は [XSL₂(Γg,r+1,Q⁻ᵣ)] = (−1)ʳ⁻¹ 2²𝒈−𝟏 (q+1)²𝒈⁺𝒓−𝟐 q²𝒈−𝟐 + (q−1)²𝒈⁺𝒓−𝟐 q²𝒈−𝟐 ((q+1)²𝒈⁺𝒓−𝟐 + 2²𝒈−𝟏 −1) である。
• 本稿では、特徴値0において、擬商がグロチェンディーク環において仮想的類の意味で一意的であることを証明し、仮想的類計算のための位相的基盤を提供する。
• 本手法は、任意のジョルダン型パラボリック構造をもつSL₂-表現多様体の仮想的類を、算術的および幾何的手法では到達できないケースを含めて、成功裏に計算した。