[論文レビュー] Pseudo-Riemannian metrics with prescribed scalar curvature

Marc Nardmann|ArXiv.org|Sep 22, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 81被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、リーマン幾何から擬リーマン幾何へ一般化されたヤマベ型方程式を特徴づける、独創的な楕円型偏微分方程式を構成することによって、擬リーマン多様体上のスカラー曲率の指定問題を解決する。次元 $ n \geq 5 $ のコンパクト多様体に対して、任意の滑らかな関数 $ s $ が、インデックス $ q \in \{3, \dots, n-3 et 3, \dots, n-3\} $ の計量として実現可能であり、インデックス 1 や 2 の場合には、$ s $ がどこかで正であれば、適切な位相的条件のもとで同様の結果が成り立つ。主な革新点は、自明な一般化による非楕円型の欠落を回避する新しい偏微分方程式フレームワークであり、バナッハ空間におけるサブ・スーパーソリューションと陰関数定理を用いることで、存在性が保証される。

ABSTRACT

We consider the following generalisation of a well-known problem in Riemannian geometry: When is a smooth real-valued function s on a given compact n-dimensional manifold M (with or without boundary) the scalar curvature of some smooth pseudo-Riemannian metric of index q on M? We prove that this is the case for every s if 2

研究の動機と目的

• リーマン幾何から擬リーマン幾何へ、特にインデックス $ q \in \{1, \dots, n-1\} $ の計量に対して、古典的なスカラー曲率の指定問題を拡張すること。
• リーマン幾何における標準的な楕円型偏微分方程式の手法が、擬リーマン設定において非楕円型に陥ることに起因する失敗を克服すること。
• リーマンの場合に還元される真正の楕円型偏微分方程式を構成し、擬リーマン設定においてスカラー曲率の指定問題の解を得ること。
• サブ・スーパーソリューションや陰関数定理といった解析的道具を用いて、境界付きまたは境界なしのコンパクト多様体上でのスカラー曲率実現の存在定理を確立すること。
• 特に $ q = 1, 2 $ の低インデックスの場合の位相的・幾何的障害を、背景リーマン計量と非可積分分布の注意深い構成によって扱うこと。

提案手法

• リーマンの場合に還元され、擬リーマン設定でも良好に振る舞う、新しい楕円型偏微分方程式の構成。
• 背景リーマン計量と微分位相的分布（接 bundle の部分束）を用いて、方程式の係数関数を定義すること。
• 適切な背景データの条件下で、サブ・スーパーソリューションの方法を用いて、方程式の解の存在を示すこと。
• カジダンとウォーナーのリーマン的戦略から適応された、バナッハ空間における陰関数定理および微分同相群の軌道の $ L^p $-閉包に関する定理の応用。
• 特に次元 $ \geq 4 $ の場合に、係数関数に必要な非可積分分布を、グロモフの $ h $-原理と凸統合技術を用いて構成すること。
• 2次元のローレンツ計量で境界付きの場合、変分法の直接的手法を用いて方程式を解くこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のコンパクト多様体上の滑らかな実数値関数が、与えられたインデックス $ q $ の擬リーマン計量としてスカラー曲率として実現可能か？
• RQ2 リーマン方程式の自明な一般化とは異なり、楕円型であり解ける偏微分方程式を、擬リーマン設定でどのように構成できるか？
• RQ3 多様体および背景データに関するどのような位相的・幾何的条件が、新しい偏微分方程式の解の存在を保証するか？
• RQ4 なぜインデックス 1 や 2 の計量では問題が高次インデックスと比べて著しく難しくなるのか？
• RQ5 特にローレンツの場合に、適切な背景リーマン計量が一般に保証できる範囲はどの程度か？

主な発見

• 任意のコンパクトな $ n $ 次元多様体 $ M $ に対して $ n \geq 5 $ であり、任意の $ q \in \{3, \dots, n-3\} $ に対して、インデックス $ q $ の擬リーマン計量の空間の各連結成分に、滑らかな関数 $ s \in C^\infty(M, \mathbb{R}) $ をスカラー曲率とする計量が存在する。
• インデックス $ q = 1 $ または $ 2 $ の場合、$ M $ がコンパクトで連結であり、$ s $ が少なくとも1点で正であれば、インデックス $ q $ の計量の空間の各連結成分に、スカラー曲率が $ s $ である計量が存在する。
• 境界をもつコンパクトで可縮な4次元多様体で $ q = 1 $ の場合、時間的向き付け可能なローレンツ計量の空間の各連結成分に、スカラー曲率が $ s $ である計量が存在する、ただし $ s $ がどこかで正であること。
• 新しい偏微分方程式の構成は、背景リーマン計量と非可積分分布に依存しており、次元 $ \geq 4 $ ではグロモフの $ h $-原理により、このような分布の存在が保証される。次元3では、古典的接触構造理論により保証される。
• 偏微分方程式の係数関数は背景データによって制御される。適切に選ばれた背景データのもとで、方程式は楕円型となり、サブ・スーパーソリューションによって解が得られる。
• 本論文は、次元 $ \geq 4 $ において、適切な背景リーマン計量が一般に存在するとする一般予想を提示しており、これはややいなやみの位相的仮定のもとでローレンツの場合を完全に解決する。