[論文レビュー] Pseudodifferential calculus on a singular foliation

Iakovos Androulidakis, Georges Skandalis|ArXiv.org|Sep 7, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特異的 foliation におけるホロノミー群ガロアと関連する C*-代数を用いて、その上に擬微分計算を確立する。$L^2(M)$ 上の正値的で、非有界的かつ自己共役な作用素としてラプラシアン作用素を構成し、その正則性と楕円性を計算を用いて証明する。これはコンパクト多様体上で完全なインデックス理論の枠組みに拡張される。

ABSTRACT

In a previous paper ([1]), we associated a holonomy groupoid and a C*-algebra to any singular foliation (M,F). Using these, we construct the associated pseudodifferential calculus. This calculus gives meaning to a Laplace operator of any singular foliation F on a compact manifold M, and we show that it can be naturally understood as a positive, unbounded, self-adjoint operator on L2(M).

研究の動機と目的

• 正則 foliation に比べて正則性に欠ける特異的 foliation に、擬微分計算を拡張すること。
• 特異的 foliation を備えたコンパクト多様体上に、縦方向ラプラシアン作用素を定義すること。
• 群ガロアと $C^*$-代数の枠組みを用いて、このラプラシアンが $L^2(M)$ 上の正値的で、非有界的かつ自己共役な作用素であることを示すこと。
• Sobolev 空間のフィルトレーションと、負の位数およびゼロ位数の擬微分作用素の $C^*$-代数的構造を確立すること。
• 正則的で、楕円的で、正の位数の作用素の構成を通じて、特異的 foliation 上の完全なインデックス理論の基盤を築くこと。

提案手法

• 双射体と、双射体の法線 bundle 上の記号を用いた振動積分を用いて、擬微分計算を構成する。
• 振動積分によるカーネルの定義：$k_a(u) = \text{int}_{N^*_{p(u)}} a(p(u),\theta) e^{i\theta \bullet \text{exp}^{-1}(u)} \tilde{\rho}(u) d\theta$、ここで $\tilde{\rho}$ はカットオフ関数。
• 擬微分作用素の主記号を、次元が一定でないベクトル空間の族をなすコサーサー束 $\mathcal{F}^*$ 上の同次関数として定義する。
• 擬微分カーネルが $C^*$-代数 $C^*(M,\mathcal{F})$ の乗算子を定めることが示され、このような作用素の代数は位数でフィルター化される。
• 正確な列 $0 \to C^*(M,\mathcal{F}) \to \Psi^*(M,\mathcal{F}) \to B \to 0$ を確立する。ここで $B$ は $C_0(S^*\mathcal{F})$ の商である。
• 計算を用いて、$\mathcal{F}$ に属する有限生成集合のベクトル場からラプラシアン $\Delta = \sum X_k^*X_k$ を定義し、それが縦方向に楕円的で正則的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホロノミー群ガロアに正則性が欠けるため、特異的 foliation 上に擬微分計算をどのように定義できるか？
• RQ2 特異的 foliation 上にラプラシアン作用素を意味的に定義でき、$L^2(M)$ 上で自己共役であることを示せるか？
• RQ3 $C^*$-代数が、擬微分作用素を乗算子として実現する上で果たす役割は何か？
• RQ4 作用素の縦方向楕円性が、$C^*$-代数的枠組み内での正則性と可逆性とどのように関係するか？
• RQ5 Sobolev 空間のフィルトレーションと $\Psi^{-\infty}$-計算を、インデックス理論を支援するために特異的 foliation に拡張できるか？

主な発見

• ラプラシアン $\Delta = \sum X_k^*X_k$ は位数 2 の縦方向楕円的作用素であり、したがって $C^*(M,\mathcal{F})$ の正則的で、非有界的かつ自己共役な乗算子を定義する。
• ラプラシアンは $L^2(M)$ 上の自己共役作用素を誘導し、弱く同値な表現（特に自然な $L^2(M)$-表現を含む）においては、同じ固有値スペクトルを持つ。
• 負位数の擬微分作用素は、foliation の全および還元された $C^*$-代数の元である。
• ゼロ位数の擬微分作用素は、$C^*$-代数の有界乗算子を定め、代数 $\Psi^*(M,\mathcal{F})$ は $C^*(M,\mathcal{F})$ と $C_0(S^*\mathcal{F})$ を含む正確な列に適合する。
• 計算は合成と引き戻しに関して閉じており、主記号は $\mathcal{F}^*$ 上での記号の芽にのみ依存する。
• $\Psi^{-\infty}(\mathcal{U})$ の滑らか作用素の代数は $\mathcal{A}_{\mathcal{U}}$ を稠密に含み、縦方向楕円的作用素 $P$ に対して、Sobolev 空間 $H^k(P)$ は適切に定義される。