[論文レビュー] Pseudodifferential operators on manifolds with linearization

Cyril Lévy|ArXiv.org|Nov 11, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、線形化構造を備えた非コンパクト多様体上で、座標に依存しない擬微分計算を構築する。抽象的指数写像を用いて、全空間的なフーリエ変換と、基本変数に一様かつ減衰する制御を持つ記号クラスを定義する。主な貢献は、記号と擬微分作用素の間で代数的同型を与える安定な $\lambda$-量子化写像であり、$S_1$-有界幾何を介して双曲空間への応用が可能である。

ABSTRACT

We present in this paper the construction of a pseudodifferential calculus on smooth non-compact manifolds associated to a globally defined and coordinate independant complete symbol calculus, that generalizes the standard pseudodifferential calculus on $\R^n$. We consider the case of manifolds $M$ with linearization in the sense of Bokobza-Haggiag, such that the associated (abstract) exponential map provides global diffeomorphisms of $M$ with $\R^n$ at any point. Cartan--Hadamard manifolds are special cases of such manifolds. The abstract exponential map encodes a notion of infinity on the manifold that allows, modulo some hypothesis of $S_σ$-bounded geometry, to define the Schwartz space of rapidly decaying functions, globally defined Fourier transformation and classes of symbols with uniform and decaying control over the $x$ variable. Given a linearization on the manifold with some properties of control at infinity, we construct symbol maps and $\la$-quantization, explicit Moyal star-product on the cotangent bundle, and classes of pseudodifferential operators. We show that these classes are stable under composition, and that the $\la$-quantization map gives an algebra isomorphism (which depends on the linearization) between symbols and pseudodifferential operators. We study, in our setting, $L^2$-continuity and give some examples. We show in particular that the hyperbolic 2-space $\HH$ has a $S_1$-bounded geometry, allowing the construction of a global symbol calculus of pseudodifferential operators on $§(\HH)$.

研究の動機と目的

• 非コンパクト多様体上に、局所的チャートに基づく定義の制限を克服したグローバルで座標に依存しない擬微分計算を構築すること。
• 基底変数 $x$ における一様かつ減衰する記号推定を実現するため、$S_\sigma$-有界幾何と抽象的指数写像による無限遠での制御を統合すること。
• 記号と擬微分作用素の間で代数的同型を与える記号写像および $\lambda$-量子化を構成すること。
• $(H_V)$仮定の下で、(0,0)型作用素の $L^2$-連続性を確立し、特に双曲平面のような多様体への計算の拡張を図ること。
• $\mathbb{R}^n$ 上の標準的および $SG$-計算を、線形化と有界幾何を持つより広い多様体のクラスへ一般化すること。

提案手法

• 各点において、線形化に関連するグローバルに定義された座標に依存しない指数写像を用いて、全空間的微分同相 $M \to \mathbb{R}^n$ を構成する。
• $S_\sigma$-有界幾何と $\mathcal{O}_M$-有界幾何の条件を導入し、無限遠での挙動を制御し、一様な記号推定を保証する。
• 線形化を介して、全空間的シュワーツ空間 $\mathcal{S}(M)$ と、$M$ 上の全空間的フーリエ変換を定義し、$x$ における減衰を伴う記号計算を可能にする。
• $T^*M$ 上の記号から擬微分作用素への記号写像および $\lambda$-量子化写像を構成し、記号と擬微分作用素の間で代数的同型を確立する。
• 線形化を用いて、$T^*M$ 上に明示的なモーリー星積を構成し、変形量子化構造を提供する。
• カルタン＝ハダマール多様体にこの計算を適用し、$\mathbb{H}^2$ が $S_1$-有界幾何を有することを示し、$\mathcal{S}(\mathbb{H}^2)$ 上にグローバルな記号計算を構成可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形化構造を備えた非コンパクト多様体上に、幾何的線形化に基づくグローバルで座標に依存しない擬微分計算を構築できるか？
• RQ2 記号推定における基底変数 $x$ に対する一様かつ減衰する制御をどのように達成できるか？これにより $L^2$-有界性が保証される。
• RQ3 このグローバルな設定において、$\lambda$-量子化写像が記号と擬微分作用素の間で代数的同型を与えるか？
• RQ4 このような計算の存在に必要な十分な幾何的条件（例：$S_\sigma$-有界幾何）は何か？
• RQ5 この計算は、具体的な非コンパクト多様体（例：双曲平面）に適用可能か？また、(0,0)型作用素の $L^2$-連続性は得られるか？

主な発見

• 本稿は、抽象的指数写像を用いて、線形化を備えた多様体上に座標に依存しない記号定義を可能にするグローバルな擬微分計算を構築した。
• $\lambda$-量子化写像は、記号と擬微分作用素の間で代数的同型を与える。これは $\mathbb{R}^n$ 上の標準的量子化を一般化する。
• 計算は合成に関して安定であり、$(C_\sigma)$仮定の下で記号積の漸近的公式が得られる。
• 双曲2次元空間 $\mathbb{H}^2$ が $S_1$-有界幾何を有することを示し、$\mathcal{S}(\mathbb{H}^2)$ 上にグローバルな記号計算を構成可能である。
• $(H_V)$仮定の下で、(0,0)型擬微分作用素の $L^2$-連続性が確立されたが、この条件の必要性は未解決のままである。
• $T^*M$ 上に明示的なモーリー星積が構成され、記号計算と整合する変形量子化構造を提供する。