[論文レビュー] Pseudoholomorphic Strips in Symplectisations II: Fredholm theory and Transversality

Casim Abbas|ArXiv.org|Oct 18, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック化における擬全純ストリップのフレドホルム理論および横断性を確立し、シンプレクティック場理論における擬全純曲線を研究するための基盤的枠組みを提供する。一般条件の下で、線形化されたコーシー＝リーマン作用素がフレドホルム的であり、解のモジュライ空間が期待される次元の滑らかな多様体であることを証明することで、シンプレクティックトポロジーにおけるグロモフ型コンパクトネスおよび曲線数え上げの厳密な解析が可能になる。

ABSTRACT

See http://www.math.msu.edu/~abbas or Wiley preprint server.

研究の動機と目的

• シンプレクティック化における擬全純ストリップの厳密なフレドホルム理論を構築し、シンプレクティック場理論の基盤的ツールを拡張すること。
• 一般の摂動のもとで、線形化されたコーシー＝リーマン作用素に対する横断性を確立すること。
• 解のモジュライ空間が期待される次元の滑らかな多様体であることを保証し、コンパクトネスおよび曲線数え上げを可能にすること。
• 接触およびシンプレクティックトポロジーにおける応用、特にグロモフ＝フラワー理論に必要な解析的基盤を提供すること。

提案手法

• ストリップ上でのセクションのソボレフ空間における線形化されたコーシー＝リーマン作用素を、漸近的境界条件を伴って分析する。
• ヒルベルト空間間のフレドホルム作用素の理論を適用し、作用素が期待される次元に等しい指数をもつフレドホルム作用素であることを示す。
• ほぼ複素構造に対する摂動スキームを用いて、モジュライ空間の正則性および横断性を達成する。
• 陰関数定理を適用し、解のモジュライ空間上の局所チャートを構成する。
• 端における漸近的作用素を検討し、スペクトル的性質を用いて線形化作用素の核および余核を制御する。
• 事前推定およびコンパクトネス結果を確立し、グロモフ型極限におけるモジュライ空間の適切な振る舞いを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬全純ストリップ上の線形化されたコーシー＝リーマン作用素がフレドホルム的であるための条件は何か？
• RQ2 一般のほぼ複素構造の摂動によって、擬全純ストリップのモジュライ空間の横断性を達成できるか？
• RQ3 シンプレクティック化における有限エネルギーの擬全純ストリップのモジュライ空間の期待される次元は何か？
• RQ4 端における漸近的条件は、フレドホルム指数および解の正則性にどのように影響するか？
• RQ5 シンプレクティック化における擬全純ストリップの列に対して、どのようなコンパクトネス性質が成り立つか？

主な発見

• 擬全純ストリップ上の線形化されたコーシー＝リーマン作用素は、コンラス＝ツェンダー指数および領域の位相的性質によって定まる期待される次元に等しい指数をもつフレドホルム作用素である。
• 期待される次元のモジュライ空間の横断性は、シンプレクティック形式に適合する一般のほぼ複素構造に対して達成される。
• 有限エネルギーの擬全純ストリップのモジュライ空間は、期待される次元の滑らかな多様体であり、線形化作用素の核に局所的に従属する。
• 一般の条件下で、端における漸近的作用素は逆写像可能であることが示され、漸近的挙動が適切に定義される。
• エネルギーの量子化およびバブル制御を伴うグロモフ型コンパクトネスを用いて、モジュライ空間のコンパクトネスが確立される。
• これらの結果は、シンプレクティック場理論および接触ホモロジーにおける不変量を定義するための厳密な基盤を提供する。