[論文レビュー] Pseudohomology and homology

Peter J. Kahn|ArXiv.org|Nov 20, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、滑らかなコンパクト多様体のペアに対して、特異ホモロジーと自然に同値であるが、非コンパクト多様体では同値でない、擬同型群を、擬サイクルのボルディズム理論として導入する。主な貢献は、有限ハンドル分解を持つペアでは同値であるが、非コンパクト多様体に拡張できない自然な変換 ψ: Hₖ(X,A) → Ψₖ(X,A) を構成することである。この結果により、非コンパクトな状況下でのホモロジーと擬同型ホモロジーの間には根本的な相違が生じることが明らかになる。

ABSTRACT

The notion of a pseudocycle is introduced by McDuff and Salamon (J-holomorphic curves and quantum cohomology, University Lecture Series, Vol. 6, AMS (1994)) to provide a framework for defining Gromov-Witten invariants and quantum cohomology. This paper studies the bordism groups of pseudocycles, called pseudohomology groups. These are shown to satisfy the Eilenberg-Steenrod axioms. For smooth compact manifold pairs, it is proved that pseudohomology is naturally equivalent to homology. Easy examples show that this equivalence does not extend to the case of non-compact manifolds.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体のペアにおける擬サイクルのボルディズム理論として、擬同型群 Ψₖ(X,A) を定義し、その性質を研究すること。
• 擬同型ホモロジーがEilenberg-Steenrod公理（ホモトピー不変性、完全性、切除、次元公理）を満たすことを確立すること。
• 有限ハンドル分解を持つペアにおいて同値である、特異ホモロジーから擬同型ホモロジーへの自然な変換を構成すること。
• この同値性が非コンパクト多様体に拡張されないことを示し、そのような状況下でのホモロジーと擬同型ホモロジーの根本的構造的相違を明らかにすること。
• 擬同型ホモロジーと古典的ボルディズムの関係を明確にし、基本類写像との合成が交線積を保存することを示すこと。

提案手法

• 滑らかな多様体のペア (X,A) ∈ ℂ における相対的 k-擬サイクルのボルディズム類として、擬同型ホモロジー群 Ψₖ(X,A) を定義する。
• 写像 (X,A) ↦ Ψₖ(X,A) がEilenberg-Steenrod公理を満たすことを証明し、特に自然な同型 Ψₖ(pt) ≅ Hₖ(pt) を得る。
• 各相対的特異サイクルに対して滑らか化とコーナーの滑らか化を用いて代表的擬サイクルを割り当てることで、自然変換 ψ: Hₖ(X,A) → Ψₖ(X,A) を構成する。
• 相対的滑らか化定理（補題 E.4）を用いて、境界および部分複体構造を正しく保存することを保証する。
• 微分トポロジーの結果（チューブ近傍、コーナー付き多様体上の測地線ホモトピーなど）を応用し、近似同士のホモトピーを構成する。
• 古典的ボルディズム基本類写像との整合性により、変換 ψ が交線積を保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬同型ホモロジーはEilenberg-Steenrod公理を満たすか？ もし満たすならば、コンパクトな場合における特異ホモロジーとの比較は？
• RQ2 有限ハンドル分解を持つコンパクトペアにおいて、特異ホモロジーから擬同型ホモロジーへの自然な変換が同値となるか？
• RQ3 ホモロジーと擬同型ホモロジーの自然な同値性が非コンパクト多様体に拡張できないのはなぜか？
• RQ4 擬同型ホモロジーは、交線積の観点からも、ホモロジーと同一の位相的不変量を検出できるか？
• RQ5 擬同型ホモロジーは無限大直和極限と可換か？ その非コンパクト空間への影響は？

主な発見

• 擬同型ホモロジー群 Ψₖ は、すべてのEilenberg-Steenrod公理（特に自然同型 Ψₖ(pt) ≅ Hₖ(pt) を含む）を満たす。
• 境界写像と可換であり、有限ハンドル分解を持つペアの全部分圏 ℂₚʳᵒᵖₕᵃⁿ𝒹 において同値である自然変換 ψ: Hₖ(X,A) → Ψₖ(X,A) が存在する。
• この自然変換 ψ は、Ψₖ(pt) ≅ Hₖ(pt) を満たす ℂₚʳᵒᵖₕᵃⁿ𝒹 上の同値変換として一意的である。
• 空境界をもつ非コンパクトで連結かつ可縮可能な多様体 X に対して、Hₖ(X) → Ψₖ(X) の上へのホモモーフィズムは存在しない。これは同値性の根本的障害を示している。
• X がコンパクトなとき、Hₖ(X×ℝ) → Ψₖ(X×ℝ) のような単射な自然変換は存在しない。これは、擬同型ホモロジーが無限大直和極限と可換でないことを示している。
• 変換 ψ は交線積を保存する：補間次元のホモロジー類 α, β に対して、α·β = ψ(α)·ψ(β) が成り立ち、これは古典的ボルディズムとの整合性に起因する。