[論文レビュー] Pseudolocality for the Ricci flow and applications

Albert Chau, Luen-Fai Tam+1 more|ArXiv.org|Jan 5, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、有界な曲率と無限遠で曲率が消える完全非コンパクトなリーマン多様体上のリッチフローに対して、擬局所性およびLi-Yau-Hamilton (LYH) 型不等式を確立する。これらの推定を用いて、有限時刻での特異点がコンパクト集合に限定されることを証明し、非負の全空間双断面曲率と漸近的に平坦な幾何学を持つ完全非コンパクトなケーラー多様体上のケーラー＝リッチフローの長期間存在結果を拡張する。

ABSTRACT

In \cite{P1}, Perelman established a differential Li-Yau-Hamilton (LYH) type inequality for fundamental solutions of the conjugate heat equation corresponding to the Ricci flow on compact manifolds (also see \cite{N2}). As an application of the LYH inequality, Perelman proved a pseudolocality result for the Ricci flow on compact manifolds. In this article we provide the details for the proofs of these results in the case of a complete non-compact Riemannian manifold. Using these results we prove that under certain conditions, a finite time singularity of the Ricci flow must form within a compact set. We also prove a long time existence result for the \KRF flow on complete non-negatively curved \K manifolds.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体から完全非コンパクトなリーマン多様体へ、ペレルマンの擬局所性およびLi-Yau-Hamilton (LYH) 不等式の結果を拡張すること。
• 有限時刻での特異点がコンパクト部分集合に限定される条件を確立すること。
• 非負の全空間双断面曲率と無限遠で曲率が消える完全非コンパクトケーラー多様体上のケーラー＝リッチフローが、すべての時刻 t ∈ [0, ∞) で存在することを証明すること。
• 勾配推定および基本解の境界を用いて、曲率の減少とフローの延長に関する既存の結果を一般化すること。

提案手法

• 完全非コンパクト多様体上のリッチフローに関連する共役熱方程式の勾配推定および基本解の境界を導出する。
• 有界曲率および漸近的平坦性の下で、共役熱方程式の基本解に対する微分的LYH不等式を確立する。
• LYH不等式を適用して擬局所性を証明する：高曲率領域は、瞬時にほぼオイラー的領域に影響を与えない。
• 擬局所性を用いて、リッチフローが有限時刻に特異点を発生させる場合、曲率の爆発がコンパクト集合内に限定されることを示す。
• 無限遠での曲率の減少と体積成長およびスカラー曲率の積分推定を組み合わせて、ケーラー＝リッチフローの長期間的挙動を制御する。
• ケーラー＝リッチフローを普遍被覆に引き上げ、体積成長およびスカラー曲率の減少を用いて、体積比の対数の有界性を保証し、一様な制御を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチフローのペレルマンの擬局所性およびLYH不等式の結果は、完全非コンパクトなリーマン多様体へ拡張可能か？
• RQ2 完全非コンパクト多様体上のリッチフローで、有限時刻での特異点がコンパクト集合内にのみ発生する条件は何か？
• RQ3 非負の全空間双断面曲率と無限遠で曲率が消える完全非コンパクトケーラー多様体上のケーラー＝リッチフローは、長期間解を有するか？
• RQ4 無限遠での曲率の減少および体積成長推定を用いて、体積比の対数を制御し、長期間存在を保証できるか？
• RQ5 普遍被覆および全空間的分解が、ケーラー＝リッチフローの長期間存在の証明において果たす役割は何か？

主な発見

• 完全非コンパクト多様体に対しても擬局所定理が成立する：リッチフローが有限時刻に特異点を発生させる場合、曲率の爆発はコンパクト集合内に限定される。
• |Rm|(x) → 0 (x → ∞) および内接半径が0から正の値で離れているという仮定の下で、リッチフローはすべての時刻にわたって存在するか、あるいは特異点はコンパクトに集中する。
• 定理1.1で T < ∞ ならば、t ∈ [0,T) で一様に x → ∞ のとき Rm(x,t) → 0 となる。つまり、時間に一様に無限遠で曲率が減少する。
• 非負の全空間双断面曲率と |Rm|(x) → 0 (x → ∞) を満たす完全非コンパクトケーラー多様体上では、ケーラー＝リッチフローはすべての時刻 t ∈ [0, ∞) で存在する。
• M × [0,T) 上で、体積比の対数 F(x,t) = log(det g(x,t)/det g(x,0)) は一様に上から有界である。これは曲率が一様に有界であることを示し、T を超えての拡張を可能にする。
• 証明は、普遍被覆上での体積成長推定およびスカラー曲率の減少に依存しており、∫s/(1+s) ds を含む積分推定により、−F(x,t) が有界であることが示される。これにより体積比の成長が制御される。