[論文レビュー] Pseudomomentum: origins and consequences

H. Singh, J. A. Hanna|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2020

Experimental and Theoretical Physics Studies被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、空間座標、時間、および物質ラベルに関して作用を同時に変分することで、連続体力学における運動量、エネルギー、擬運動量のバランス法則を統一的に導出する変分フレームワークを確立する。擬運動量のバランスが、流体および弾性構造物における重要な保存則（渦度、循環、ヘリシティ）を規定することを示し、閉じた弾性ロッドの駆動力が経路に依存しない積分によって直接計算可能であることを明らかにする。

ABSTRACT

The balance of pseudomomentum is discussed and applied to simple elasticity, ideal fluids, and the mechanics of inextensible rods and sheets. A general framework is presented in which the simultaneous variation of an action with respect to position, time, and material labels yields bulk balance laws and jump conditions for momentum, energy, and pseudomomentum. The example of simple elasticity of space-filling solids is treated at length. The pseudomomentum balance in ideal fluids is shown to imply conservation of vorticity, circulation, and helicity, and a mathematical similarity is noted between the evaluation of circulation along a material loop and the J-integral of fracture mechanics. Integration of the pseudomomentum balance, making use of a prescription for singular sources derived by analogy with the continuous form of the balance, directly provides the propulsive force driving passive reconfiguration or locomotion of confined, inhomogeneous elastic rods. The conserved angular momentum and pseudomomentum are identified in the classification of conical sheets with rotational inertia or bending energy.

研究の動機と目的

• 空間座標、時間、物質ラベルに関して作用を同時に変分することによって、運動量、エネルギー、および擬運動量バランス法則の統一的導出を目的とする。
• 作用原理に従う保存的力学系における擬運動量の物理的起源とその結果を明確化すること。
• 理想流体における擬運動量バランスが、渦度、循環、ヘリシティの保存を直接示し、破壊力学におけるJ積分と数学的に類似していることを示すこと。
• 擬運動量バランスの統合により、閉じた不均一な弾性ロッドの被動的再配置における駆動力を計算できることを示すこと。
• 回転慣性または曲げエネルギーを有する円錐状シートにおける保存される角運動量および擬運動量を特定すること。

提案手法

• 空間的位置、時間、物質座標に関して作用を変分することで、体積力のバランス法則および不連続面でのジャンプ条件を導出し、運動量、エネルギー、擬運動量のバランスを得る。
• 物質座標 $\bar{\mathbf{x}}$、空間的位置 $\mathbf{x}$、速度 $d_t\mathbf{x}$、および歪み勾配 $\mathbf{F}$ に依存するラグランジアン密度 $\bar{\mathcal{L}}$ を用いる。
• 参照座標系における $\bar{\mathcal{L}}$ の勾配にチェーンルールを適用し、$\partial\bar{\mathcal{L}}/\partial\mathbf{F}$、$\partial\bar{\mathcal{L}}/\partial d_t\mathbf{x}$、および $\mathbf{F}$ を用いて擬運動量バランスを表現する。
• Eshelbyテンソルを $\left[\frac{\partial\bar{\mathcal{L}}}{\partial\mathbf{F}}\right]^T \cdot \mathbf{F} - \bar{\mathcal{L}} \mathbf{I}$ として導出し、これは擬運動量の参照座標系におけるフラックスを表す。
• 単純な弾性、理想流体、不変形性ロッドおよびシート、曲げエネルギーまたは回転慣性を有する円錐構造物といった特定の系にバランス法則を適用する。
• 経路に依存しない積分および不連続面におけるジャンプ条件を用いて、力および保存量（循環評価におけるJ積分類似）を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間座標、時間、物質座標に関して作用を同時に変分することによって、運動量、エネルギー、および擬運動量のバランス法則が一貫して得られる仕組みは何か？
• RQ2 理想流体における擬運動量の役割は、渦度、循環、ヘリシティの保存にどのように寄与するか？
• RQ3 擬運動量バランスをどのように統合することで、閉じた不均一な弾性ロッドの被動的ロケモーションにおける駆動力を計算できるか？
• RQ4 回転慣性または曲げエネルギーを有する円錐状シートでは、どのような保存量が出現し、それらは擬運動量とどのように関係するか？
• RQ5 Eshelbyテンソルはどのように変分フレームワークから導出され、その物理的解釈（擬運動量の参照座標系フラックス）は何か？

主な発見

• 理想流体における擬運動量バランスは、渦度、循環、ヘリシティの保存を直接示し、循環評価は破壊力学におけるJ積分と数学的に類似している。
• 連続的表現から導かれる特異的源の規定を用いて、擬運動量バランスを統合することで、チャネル内に閉じ込められた不均一な弾性ロッドの被動的再配置を駆動する駆動力が得られる。
• Eshelbyテンソル $\left[\frac{\partial\bar{\mathcal{L}}}{\partial\mathbf{F}}\right]^T \cdot \mathbf{F} - \bar{\mathcal{L}} \mathbf{I}$ は、バランス法則における擬運動量の参照座標系フラックスとして出現する。
• 回転慣性または曲げエネルギーを有する円錐状シートでは、角運動量および擬運動量が両方保存され、その分類が変分フレームワークによって明確化される。
• 運動量、エネルギー、擬運動量のバランス法則は、単一の変分原理から導出され、物質的不連続面におけるジャンプ条件が界面での一貫性を保証する。
• 擬運動量が空間的運動量バランスとは独立して物質座標に関する変分から生じることを示すことにより、擬運動量の解釈の矛盾を解消する。