[論文レビュー] Pseudorandom generators and the BQP vs. PH problem
この論文は、Nisan-Wigderson擬似乱数生成機が、多数派関数をハード関数として用いる際、$AC_0$ 回路を欺けるという予想を提示している。この予想が真であれば、BQP が PH に属さないようなオракルの存在が示唆される。主な貢献は、ほぼ互いに素な行サポートを持つ量子的に計算可能なユニタリ行列の構築であり、これにより量子アルゴリズムは生成機の出力を一様分布から区別できるが、古典的 $AC_0$ 回路はそのような区別ができない、という点である。このことは、予想のもとで成立する。
It is a longstanding open problem to devise an oracle relative to which BQP does not lie in the Polynomial-Time Hierarchy (PH). We advance a natural conjecture about the capacity of the Nisan-Wigderson pseudorandom generator [NW94] to fool AC_0, with MAJORITY as its hard function. Our conjecture is essentially that the loss due to the hybrid argument (which is a component of the standard proof from [NW94]) can be avoided in this setting. This is a question that has been asked previously in the pseudorandomness literature [BSW03]. We then make three main contributions: (1) We show that our conjecture implies the existence of an oracle relative to which BQP is not in the PH. This entails giving an explicit construction of unitary matrices, realizable by small quantum circuits, whose row-supports are "nearly-disjoint." (2) We give a simple framework (generalizing the setting of Aaronson [A10]) in which any efficiently quantumly computable unitary gives rise to a distribution that can be distinguished from the uniform distribution by an efficient quantum algorithm. When applied to the unitaries we construct, this framework yields a problem that can be solved quantumly, and which forms the basis for the desired oracle. (3) We prove that Aaronson's "GLN conjecture" [A10] implies our conjecture; our conjecture is thus formally easier to prove. The GLN conjecture was recently proved false for depth greater than 2 [A10a], but it remains open for depth 2. If true, the depth-2 version of either conjecture would imply an oracle relative to which BQP is not in AM, which is itself an outstanding open problem. Taken together, our results have the following interesting interpretation: they give an instantiation of the Nisan-Wigderson generator that can be broken by quantum computers, but not by the relevant modes of classical computation, if our conjecture is true.
研究の動機と目的
- BQP が多項式階層（PH）に属さないようなオラクルを構築するという、長年の未解決問題を解決すること。
- Nisan-Wigderson 生成機に多数派関数をハード関数として用いる場合に、擬似乱数理論におけるハイブリッド・アーギュメントによる損失を回避できる状況を同定すること。
- 量子的複雑性と擬似乱数理論の接点を確立すること。具体的には、予想のもとで、量子アルゴリズムが Nisan-Wigderson 生成機の出力を一様分布から区別できるが、古典的 $AC_0$ 回路はそのような区別ができない、という事実を示すこと。
- 効率的に量子的に計算可能なユニタリ行列が、量子アルゴリズムによって区別可能だが、古典的 $AC_0$ 回路によっては区別不能な分布を生じることを保証する枠組みを提供すること。
提案手法
- Nisan-Wigderson 生成機が多数派関数をハード関数として用いる際、ハイブリッド・アーギュメントによる標準的な $1/m$ の損失を回避できるという予想を提示。ここで $m$ はブロック数であり、$π$ に多項式的に依存する。
- 行サポートがほぼ互いに素であるような、小さな量子回路で実装可能な明示的なユニタリ行列を構築。これにより、生成機の出力の量子的区別が可能となる。
- 任意の効率的に量子的に計算可能なユニタリ行列が、効率的な量子アルゴリズムによって一様分布から区別可能な分布を生じることを示す一般枠組みを導入。
- この枠組みを用いて、量子多項式時間で解けるが $AC_0$ 回路では解けない問題を定義。これにより、望ましいオラクルの根拠が得られる。
- Aaronson の GLN 予想が提案された予想を含意することを証明。これにより、予想の証明が形式的に容易になる。また、深さ2の場合のバージョンは未解決のまま残っていることを指摘。
- いかなる予想の証明もブラックボックス的手法では成立しないこと、なぜならブラックボックス還元は多数派関数の低次多項式近似に関する既知の下界と矛盾するため。
実験結果
リサーチクエスチョン
- RQ1Nisan-Wigderson 生成機が多数派関数をハード関数として用いる際、ハイブリッド・アーギュメントによる標準的な $1/m$ の損失を回避できるか？
- RQ2擬似乱数理論に関する妥当な予想のもとで、BQP が PH に含まれないようなオラクルが存在するか？
- RQ3提案された予想のもとで、量子アルゴリズムは Nisan-Wigderson 生成機の出力を一様分布から区別できるが、$AC_0$ 回路はそのような区別ができないか？
- RQ4GLN 予想は、そのようなオラクルの存在を含意するか？また、提案された予想を含意するか？
- RQ5ハイブリッド・アーギュメントによる損失を回避した場合、Nisan-Wigderson 生成機が $AC_0$ を欺けることを示すために、非ブラックボックス証明技法が使用可能か？
主な発見
- 提案された予想が真であれば、BQP が PH に属さないようなオラクルの存在が示され、量子複雑性理論における長年の未解決問題が解決される。
- 本論文は、量子的区別に不可欠な、行サポートがほぼ互いに素であるユニタリ行列を実装する明示的な量子回路を構築している。
- 任意の効率的に量子的に計算可能なユニタリ行列が、効率的な量子アルゴリズムによって一様分布から区別可能な分布を生じることを示す一般枠組みが開発された。
- この予想は、Aaronson の GLN 予想よりも形式的に弱く、深さ2の場合については未解決のまま残っている。深さが2より大きい場合、最近 GLN 予想が偽であることが示されたが、深さ2のバージョンについては依然として未解決。
- この予想は、BQP が AM に属さないようなオラクルの存在を示唆しており、複雑性理論におけるもう一つの主要な未解決問題を解決する可能性を秘めている。
- 結果として、予想が真であれば、量子コンピュータによって破壊可能だが、古典的 $AC_0$ 回路では破壊できない Nisan-Wigderson 生成機のインスタンスが得られることが示唆される。
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