[論文レビュー] Pseudorandomness and Fourier Growth Bounds for Width 3 Branching Programs

Thomas Steinke, Salil Vadhan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、シード長 Õ(log³n) を持つ、読み込み順序に依存しない幅3の1回読み込みブランチングプログラムの明示的擬似乱数生成器を提示する。これは、以前の最良の境界 n^{1/2+o(1)} よりも改善されたものである。主な技術的貢献は、レベルkにおけるl1フーリエ質量が n²·(O(log n))ᵏ 以下であることを示す新しいフーリエ成長評価であり、この評価により、このクラスのブランチングプログラムに対する生成器の有効性が保証される。

ABSTRACT

We present an explicit pseudorandom generator for oblivious, read-once, width-$3$ branching programs, which can read their input bits in any order. The generator has seed length $ ilde{O}( \log^3 n ).$ The previously best known seed length for this model is $n^{1/2+o(1)}$ due to Impagliazzo, Meka, and Zuckerman (FOCS '12). Our work generalizes a recent result of Reingold, Steinke, and Vadhan (RANDOM '13) for extit{permutation} branching programs. The main technical novelty underlying our generator is a new bound on the Fourier growth of width-3, oblivious, read-once branching programs. Specifically, we show that for any $f:\{0,1\}^n ightarrow \{0,1\}$ computed by such a branching program, and $k\in [n],$ $$\sum_{s\subseteq [n]: |s|=k} \left| \hat{f}[s] ight| \leq n^2 \cdot (O(\log n))^k,$$ where $\widehat{f}[s] = \mathbb{E}\left[f[U] \cdot (-1)^{s \cdot U} ight]$ is the standard Fourier transform over $\mathbb{Z}_2^n$. The base $O(\log n)$ of the Fourier growth is tight up to a factor of $\log \log n$.

研究の動機と目的

• 読み込み順序に依存しない幅3の1回読み込みブランチングプログラムの、より良いシード長を有する明示的擬似乱数生成器の構築。
• 入力ビットの順序に依存する従来の手法の限界を克服するため、順序に依存しない解析法の開発。
• 幅3のブランチングプログラムに対するタイトなフーリエ成長評価の確立により、生成器構築を可能にする。
• 置換および幅2のブランチングプログラムに関する先行結果を、非正則な幅3プログラムというより広いクラスに一般化する。
• 混合性とフーリエ構造の分析を通じて、幅がより大きいブランチングプログラムへの擬似乱数性の拡張に向けた基盤的ツールを構築する。

提案手法

• 新しいフーリエ成長評価の導入：幅3のブランチングプログラムによって計算される任意のfについて、|s|=k となるすべてのsについて |f̂[s]| の和は、n²·(O(log n))ᵏ 以下である。
• 確率的制限を用いて幅3プログラムを幅2プログラムに還元し、幅2および正則プログラムの既知の混合性を活用する。
• 制限下での衝突確率に基づく混合性の定義を導入し、固有値に基づく測定よりも非正則な振るまいをよりよく捉える。
• Gopalanら [18] のインスピレーションを得た、小さなバイアスを持つ生成器を部分群に適用する再帰的分割戦略を用いて、擬似乱数生成器を構築する。
• サンドイッチ多項式を適用してフーリエ成長要件を緩和し、近似によりより良いシード長を達成可能にする。
• Bravermanら [9]、BrodyとVerbin [10]、Steinberger [39] の技術を統合し、統一的な解析フレームワークを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幅3のブランチングプログラムに対して、n^{1/2+o(1)} よりも著しく低いシード長を有する擬似乱数生成器を構築可能か？
• RQ2 入力ビットの順序に依存せずに、幅3プログラムの擬似乱数性を解析可能か？
• RQ3 幅3、読み込み順序に依存しない1回読み込みブランチングプログラムに対する、最もタイトなフーリエ成長評価は何か？
• RQ4 非正則な幅3プログラムの混合行動は、十分に良好に特徴付け可能か？ その特徴付けが、擬似乱数生成器の構築を可能にするか？
• RQ5 これらの技術は幅4以上へと拡張可能か？ また、その場合に新たに必要な混合性の概念は何か？

主な発見

• 本稿では、幅3のブランチングプログラムによって計算される任意のfについて、∑_{|s|=k} |f̂[s]| ≤ n²·(O(log n))ᵏ であるという新しいフーリエ成長評価を確立した。
• フーリエ成長の底は、log log n 要素の誤差を除いてタイトであり、O(log n) が下位の項を除いて最適であることが示された。
• 擬似乱数生成器はシード長 Õ(log³n) を達成し、以前の n^{1/2+o(1)} の境界に比べて顕著な改善を示した。
• 生成器は明示的であり、入力ビットの順序が固定されていれば、順序付き入力に限らず適用可能である。
• 本稿の解析では、確率的制限下での幅の縮小に基づく新しい混合性の概念を導入し、固有値に基づく測定よりも非正則な振るまいをよりよく捉えている。
• このフレームワークは、サンドイッチ多項式と再帰的生成器設計を用いることで、さらなるシード長の短縮への道筋を示唆している。