[論文レビュー] Pseudorandomness for Multilinear Read-Once Algebraic Branching Programs, in any Order

Michael A. Forbes, Ramprasad Saptharishi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、変数順序に依存しない、多変数一意的読み取り専用の巡回的代数的ブランチングプログラム（ROABPs）に対する、初めての部分指数時間決定的ブラックボックス多項式恒等式検証（PIT）アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは n^(lg² n) 時間で動作し、変数順序に依存しない。ランクコンデンサと改良されたヴロニスキー形式の技法を活用することで、ROABPsおよび対角回路に対し、この成果を達成した。これにより、先行研究を一般化し、対角回路に対する初めての n^(lglg n)-時間アルゴリズムを提供した。

ABSTRACT

We give deterministic black-box polynomial identity testing algorithms for multilinear read-once oblivious algebraic branching programs (ROABPs), in n^(lg^2 n) time. Further, our algorithm is oblivious to the order of the variables. This is the first sub-exponential time algorithm for this model. Furthermore, our result has no known analogue in the model of read-once oblivious boolean branching programs with unknown order, as despite recent work there is no known pseudorandom generator for this model with sub-polynomial seed-length (for unbounded-width branching programs). This result extends and generalizes the result of Forbes and Shpilka that obtained a n^(lg n)-time algorithm when given the order. We also extend and strengthen the work of Agrawal, Saha and Saxena that gave a black-box algorithm running in time exp((lg n)^d) for set-multilinear formulas of depth d. We note that the model of multilinear ROABPs contains the model of set-multilinear algebraic branching programs, which itself contains the model of set-multilinear formulas of arbitrary depth. We obtain our results by recasting, and improving upon, the ideas of Agrawal, Saha and Saxena. We phrase the ideas in terms of rank condensers and Wronskians, and show that our results improve upon the classical multivariate Wronskian, which may be of independent interest. In addition, we give the first n^(lglg n) black-box polynomial identity testing algorithm for the so called model of diagonal circuits. This model, introduced by Saxena has recently found applications in the work of Mulmuley, as well as in the work of Gupta, Kamath, Kayal, Saptharishi. Previously work had given n^(lg n)-time algorithms for this class. More generally, our result holds for any model computing polynomials whose partial derivatives (of all orders) span a low dimensional linear space.

研究の動機と目的

• 多変数一意的ROABPsのための、効率的かつ変数順序に依存しない決定的ブラックボックス多項式恒等式検証（PIT）アルゴリズムの開発。
• 集合的多項式の多項式式とROABPsに関する先行研究を、部分指数時間の複雑度にまで拡張すること。
• 対角回路に対する最初の n^(lglg n)-時間ブラックボックスPITアルゴリズムを提供し、以前の n^(lg n)-時間の境界を改善すること。
• ランクコンデンサとヴロニスキー形式の手法を用いて、アグラワル、サハ、サクセナの枠組みを一般化・強化すること。
• 部分微分によって張られる低次元空間を持つ多項式の広いクラス—このようなPITアルゴリズムが適用可能な多項式—を特定・分析すること。

提案手法

• ランクコンデンサを用いて部分微分の空間の次元を低減することで、PIT問題を再定式化する。
• 古典的多変数ヴロニスキー形式の改良版を導入し、微分空間内の代数的依存関係を捉える。
• ヴロニスキー形式の手法を用いて、あらゆる変数順序に対して有効なハッティング集合を構築し、順序不変性を実現する。
• 改良されたヴロニスキー形式の構築を対角回路に適用し、n^(lglg n) のタイトな時間境界を達成する。
• 任意の多項式族について、そのすべての順序の部分微分が低次元線形空間を張る場合に、効率的なブラックボックスPITが可能である一般枠組みを確立する。
• 多変数一意的ROABPsの構造を活用し、微分空間のランクを束縛し、ランクコンデンサを適用することで、部分指数時間の実現を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数一意的ROABPsのブラックボックスPITアルゴリズムは、部分指数時間で動作し、変数順序に依存しない形にできるか？
• RQ2 ヴロニスキー形式の手法は、対角回路およびROABPsに対して、より良い時間境界を達成するように改善可能か？
• RQ3 効率的なブラックボックスPITを可能にする多項式の最小構造的条件は何か？ そして、これは部分微分空間とどのように関係するか？
• RQ4 アグラワル、サハ、サクセナの技法は、より広いクラスの代数的回路をカバーするように一般化・強化可能か？
• RQ5 多変数一意的ROABPsのための擬似乱数生成子は、部分多項式的シード長で存在するか？ そして、これは現在のアルゴリズム的手法とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、n^(lg² n) 時間で動作する多変数一意的ROABPsのための決定的ブラックボックスPITアルゴリズムを提示している。この時間は部分指数的であり、順序不変である。
• これは、変数順序の知識を必要としない、多変数一意的ROABPsに対する初めてのこのようなアルゴリズムである。
• 対角回路に対しては、n^(lglg n) 時間の時間境界を達成しており、以前の n^(lg n)-時間の境界を改善した。
• この枠組みは、すべての順序の部分微分が低次元線形空間を張る多項式族へ一般化可能である。
• 改良されたヴロニスキー形式の構築は、古典的多変数ヴロニスキー形式よりも強力な代数的道具を提供し、独立した応用の可能性を秘めている。
• 結果は、代数的ブランチングプログラムモデルとブール的ブランチングプログラムモデルとの間の分離を示しており、後者には、既知の部分多項式的シード長の擬似乱数生成子が存在しないことと関連している。