[論文レビュー] PSL(2,Z) as a non distorted subgroup of Thompson's group T

Ariadna Fossas|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特定の構造的性質を備えた縮小済みの木ペア図を用いた特徴付けにより、PSL(2,Z) がトマホーク群 T 内に非歪曲（non-distorted）部分群として埋め込まれることを確立している。組合せ論的木ペア図とキャリー数に基づく距離推定を用いて、PSL(2,Z) 内の語長が T 内の語長に対して線形に増加することを証明し、非歪曲性を確認した。これにより、T 内で非歪曲なランク 2 の自由非アーベル部分群の最初の明示的例が得られた。

ABSTRACT

In this paper we characterize the elements of PSL(2,Z), as a subgroup of Thompson group T, in the language of reduced tree pair diagrams and in terms of piecewise linear maps as well. Actually, we construct the reduced tree pair diagram for every element of PSL(2,Z) in normal form. This allows us to estimate the length of the elements of PSL(2,Z) through the number of carets of their reduced tree pair diagrams and, as a consequence, to prove that PSL(2,Z) is a non distorted subgroup of T. In particular, we find non-distorted free non abelian subgroups of T.

研究の動機と目的

• PSL(2,Z) の要素を、特定の構造的性質を持つ縮小済みの木ペア図を用いて、トマホーク群 T の部分群として特徴付けること。
• PSL(2,Z) 要素の縮小済み木ペア図と、位数 2 と 3 の古典的生成子における正規形との間の全単射を確立すること。
• PSL(2,Z) 要素の語長を、その縮小済み木ペア図に含まれるキャリー数を用いて推定すること。
• PSL(2,Z) がトマホーク群 T の非歪曲部分群であることを証明し、T 内で非歪曲なランク 2 の自由非アーベル部分群を構成すること。

提案手法

• トマホーク群 T の要素を、同じ枚数の葉を持つ根付き2分木 T1 と T2 および葉の巡回置換 σ からなる同値類 (T1, σ, T2) として表現すること。
• T1 における露出したキャリーと、それらの σ による像が T2 に存在する場合、それらのペアを削除することで縮小済みの木ペア図を定義すること。
• 各々の区分的線形写像 f に対して関連する k-良い系列 S(f) を導入し、Δx(f) と Δy∘(f) が k-細かく、3 ≤ j ≤ k−2 の範囲で特定の分数条件を満たすことを要件とする。
• k-細かい置換と k-細かい木（k 個の葉を持つ）の数がともに 2^{k−2} であるという補題を用い、有効な構成の列挙を可能にすること。
• 関連する木ペア図が T 内での PSL(2,Z) の定義方程式を満たすことを検証することで、k-良い系列と PSL(2,Z) 要素との対応関係を確立すること。
• Burillo, Cleary, Stein, Taback の既知の T 内の語メトリクスの結果を活用し、縮小済み図のキャリー数と語長との関係を示し、非歪曲性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PSL(2,Z) の要素は、縮小済みの木ペア図という組合せ論的言語を用いて、トマホーク群 T 内で完全に特徴付け可能か？
• RQ2 PSL(2,Z) 要素の語長と、その縮小済み木ペア図に含まれるキャリー数との関係は何か？
• RQ3 T のメトリック構造を考慮した場合、PSL(2,Z) はトマホーク群 T の非歪曲部分群か？
• RQ4 T の区分的射影的構造を用いて、非歪曲なランク 2 の自由非アーベル部分群の明示的例を構成可能か？
• RQ5 PSL(2,Z) の代数的性質、たとえばその交換子部分群などは、T への埋め込みおよび歪曲性とどのように関係するか？

主な発見

• PSL(2,Z) の各要素（T 内の部分群として）は、各レベルに正確に1つの葉と1つの内部頂点を持つ縮小済み木ペア図を持つ。
• PSL(2,Z) 要素を表す縮小済み木ペア図と、位数 2 と 3 の古典的生成子における正規形との間に明示的な全単射が存在する。
• PSL(2,Z) 要素の語長は、その縮小済み木ペア図に含まれるキャリー数に対して線形に増加し、線形の等周的（isoperimetric-type）な境界が得られた。
• PSL(2,Z) はトマホーク群 T の非歪曲部分群である。これは、PSL(2,Z) の内在的語メトリクスが T の語メトリクスの制限と準等長的（quasi-isometric）であるためである。
• PSL(2,Z) の交換子部分群は、有限指数かつランク 2 の自由非アーベル部分群であり、T 内に非歪曲性を保つため、T 内で非歪曲な F2 部分群の最初の明示的例が得られた。
• 本論文は、k-良い系列 S(f) — すなわち k-細かい Δx(f)、k-細かい Δy∘(f)、および特定の分数の存在 — が、f ∈ PSL(2,Z) であるための必要十分条件であることを確認した。