[論文レビュー] PT invariant Non-Hermitian Potentials with Real QES Eigenvalues

Avinash Khare, Bhabani Prasad Mandal|ArXiv.org|Apr 5, 2000

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、PT対称な非ヒルベルト型ポテンシャル $V(x) = -(\tanh 2x - iM)^2$ 及びその周期的対応形 $V(\theta) = (\tanh 2\theta - iM)^2$ に対して、$M$ が奇数整数であるとき、準正確に解ける（QES）エネルギー固有値が実数であることを示している。スペクトル解析および双対性変換を用いて、対応する直交多項式のノルムと重み関数が実数であることを示し、非ヒルベルト系でさえもPT対称性が実スペクトルを保証するという予想を支持する。

ABSTRACT

We show that at least the quasi-exactly solvable eigenvalues of the Schrödinger equation with the potential $V(x) = -(ζ\cosh 2x -iM)^2$ as well as the periodic potential $V(x) = (ζ\cos 2θ-iM)^2$ are real for the PT-invariant non-Hermitian potentials in case the parameter $M$ is any odd integer. We further show that the norm as well as the weight functions for the corresponding weak orthogonal polynomials are also real.

研究の動機と目的

• 量子力学におけるヒルベルト性の必要性を疑問視しつつ、PT対称な非ヒルベルト型ハミルトニアンが実エネルギー固有値をもたらすかどうかを調査すること。
• 双曲型および周期的形の2つの特定の非ヒルベルト型ポテンシャルのスペクトル的性質を分析すること。
• 準正確に解ける（QES）固有値が実数であり、下から有界である条件を同定すること。
• QES枠組みにおける関連する弱直交多項式のノルムおよび重み関数の実数性を調査すること。
• 反等スペクトル（anti-isospectral）変換を用いて、結果を周期的ポテンシャル系へ拡張すること。

提案手法

• $\psi(x) = e^{i\frac{\zeta}{2}\cosh 2x}\phi(x)$ を用いてシュレーディンガー方程式を変換し、$\phi(x)$ に関する2階微分方程式を導出する。
• $z = \cosh 2x - 1$ を用い、$\phi(x) = z^s \sum R_n(E) \left(\frac{z+2}{2}\right)^{n/2}$ の級数解を適用し、係数 $R_n(E)$ に対する3項再帰関係を導出する。
• 再帰関係を偶数 $n$ と奇数 $n$ に分離し、偶関数および奇関数に対応する2つの独立した3項再帰関係 $P_n(E)$ および $Q_n(E)$ を得る。
• 臨界多項式条件を適用：$M = 2k+1$ のとき、$k+1$ 次および $k$ 次の多項式 $P_{k+1}(E)$ および $Q_k(E)$ は実数であり、$M$ 個のQES固有値を生成する。
• 双対性変換 $x \to i\theta$ を適用して、双曲型ポテンシャルを周期的ポテンシャル $V(\theta) = (\zeta \cos 2\theta - iM)^2$ に写像し、PT対称性を保存する。
• 反等スペクトル写像を用いて、双対系のQES準位を関連づける：$\hat{E}_k = -E_{M-1-k}$ であり、奇数 $M$ に対して実固有値が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ヒルベルト型PT対称ポテンシャル $V(x) = - (\tanh 2x - iM)^2$ の準正確に解ける（QES）エネルギー固有値が整数 $M$ に対して実数であるか？
• RQ2 $\zeta$ と $M$ にどのような条件を課すと、QESスペクトルが実数かつ下から有界となるか？
• RQ3 再帰関係に複素係数が含まれるにもかかわらず、関連する弱直交多項式のノルムおよび重み関数が実数のままであるか？
• RQ4 双対性を用いて、周期的PT対称ポテンシャル $V(\theta) = (\zeta \cos 2\theta - iM)^2$ に対してもQESスペクトルの実数性が拡張可能か？
• RQ5 奇数 $M$ と偶数 $M$ のときのPT対称性の振る舞いはどのように異なり、それはスペクトルの実数性とどのような関係にあるか？

主な発見

• $M = 1$ のとき、唯一のQES固有値は $E = 1 - \zeta^2$ であり、すべての $\zeta$ に対して実数であり、基底状態に類似した準位に対応する。
• $M = 2k+1$ が奇数整数であるとき、$|\zeta| \leq \zeta_c$ の条件下で、正確に $M$ 個の実QES固有値が存在する。ここで $\zeta_c$ は $M$ に依存する臨界値である。
• $\zeta = \zeta_c$ において、2つの最高エネルギー準位が縮退する。$\zeta > \zeta_c$ では一部の固有値が複素数に変化し、相転移を示唆する。
• 臨界多項式 $P_{k+1}(E)$ および $Q_k(E)$ は、再帰関係に複素係数が含まれるにもかかわらず、奇数 $M = 2k+1$ のとき実数である。
• 直交多項式のノルム $\gamma_n$ は実数であるが、常に正ではない。偶数次多項式では正のノルム、奇数次多項式では $n < M$ に対して負のノルムを示し、$n \geq M$ ではゼロとなる。
• 直交多項式の重み関数 $\omega(E)$ は実数であるが、正定値ではない。これは再帰係数 $a_i$ の性質により示される。