[論文レビュー] PT-symmetry and Schrödinger operators. The double well case

Nawal Mecherout, Naima Boussekkine+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2015

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、微小な虚数摂動下における二重井戸ポテンシャルを有する $\mathcal{P}\mathcal{T}$ 対称シュレーディンガー作用素のスペクトル的性質を調査する。複素 WKB 解析を用いて、固有値が実数のままであるのは指数的に小さい摂動 $\varepsilon$ の場合に限られ、$\varepsilon$ が $e^{-J/h}$ に比例する臨界閾値を超えると、固有値は複素平面へ分岐する。ここで $J$ は複素作用積分である。

ABSTRACT

We study a class of PT-symmetric semiclassical Schrödinger operators, which are perturbations of a selfadjoint one. Here, we treat the case where the unperturbed operator has a double-well potential. In the simple well case, two of the authors have proved in \cite{BoMe14} that, when the potential is analytic, the eigenvalues stay real for a perturbation of size O(1). We show here, in the double-well case, that the eigenvalues stay real only for exponentially small perturbations, then bifurcate into the complex domain when the perturbation increases and we get precise asymptotic expansions. The proof uses complex WKB-analysis, leading to a fairly explicit quantization condition.

研究の動機と目的

• 二重井戸ポテンシャルを有する $\mathcal{P}\mathcal{T}$ 対称シュレーディンガー作用素が微小な虚数摂動を受けるときのスペクトル的安定性を理解すること。
• 固有値が実数から複素数に遷移する摂動 $\varepsilon$ の閾値サイズを特定すること。
• 二重井戸の場合における固有値の正確な漸近的量子化条件を導出すること。これは、単一井戸の場合では $\mathcal{O}(1)$ の摂動に対しても実固有値が維持されるのと対照的である。
• 複素 WKB 分析が二重井戸領域における固有値の非摂動的指数的分裂を捉える役割を確立すること。

提案手法

• 本研究では、複素 WKB 分析を用いて、二重井戸ポテンシャルにおけるエネルギー $E_0$ の近くの準固有状態（quasimodes）を構築し、固有値の量子化条件を導出する。
• 重要な要素として、解析的接続を施したウィンドウ付きフレッドホルム行列式 $f_{\theta}$ の導出が含まれ、これは停留化・ラプラス法を用いて解析される。
• 変数変換 $F = \widetilde{I}(E)$ を行い、問題を $\widetilde{\varepsilon}$ と $\widetilde{\kappa}$ に依存する関数 $\widetilde{f}^{c}$ に変換する。固有値条件は、臨界点 $F_c$ において解析される。
• 関数 $\widetilde{f}^{c}$ を $\widetilde{\varepsilon}$ に関してテイラー展開することで、二次的依存性が明らかになり、閾値 $\widetilde{\varepsilon}_c(\widetilde{\kappa};h) \sim \ell(\widetilde{\kappa};h) e^{-J(E_c(0,\kappa,0),0)/h}$ が得られる。ここで $J$ は複素作用積分である。
• 固有値分裂の一次項の振幅は $|\partial_\varepsilon I(E_1,0)|^2$ によって支配され、これは摂動展開の曲率と複素固有値の出現を決定する。
• 複素 $\widetilde{\varepsilon}$ および $\widetilde{\kappa}$ における正則性を活用し、$|\widetilde{\varepsilon}| < \widetilde{\varepsilon}_c$ のとき固有値は実数かつ単一であり、$|\widetilde{\varepsilon}| > \widetilde{\varepsilon}_c$ のとき複素共役対に分岐し、臨界閾値で二重零点を形成することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重井戸シュレーディンガー作用素の $\mathcal{P}\mathcal{T}$ 対称摂動 $\varepsilon$ がどの程度の大きさであれば、固有値が実数のままであるか。
• RQ2 $\varepsilon$ が臨界閾値を超えて増加する際、固有値スペクトルはどのように複素平面に分岐するか。
• RQ3 二重井戸の場合における固有値分裂の正確な漸近的形は何か。これは単一井戸の場合とどのように異なるか。
• RQ4 複素 WKB 法は、$h$ に依存する固有値閾値の非摂動的指数的依存性を捉える量子化条件を導出できるか。

主な発見

• 固有値は実数のままであるのは指数的に小さい摂動 $\varepsilon$ の場合に限られ、臨界閾値は $\widetilde{\varepsilon}_c(\widetilde{\kappa};h) \sim \ell(\widetilde{\kappa};h) e^{-J(E_c(0,\kappa,0),0)/h}$ に比例する。ここで $J$ は複素作用積分である。
• $|\widetilde{\varepsilon}| < \widetilde{\varepsilon}_c(\widetilde{\kappa};h)$ のとき、固有値は実数かつ単一であり、実軸に関して対称なペアを形成する。
• 臨界値 $|\widetilde{\varepsilon}| = \widetilde{\varepsilon}_c(\widetilde{\kappa};h)$ において、固有値は $F = F_c$ で重ね合わさり、二重零点を形成する。
• $|\widetilde{\varepsilon}| > \widetilde{\varepsilon}_c(\widetilde{\kappa};h)$ のとき、固有値は複素共役対となり、$\mathcal{P}\mathcal{T}$ 対称性の破れを示す相転移を示す。
• 固有値分裂の一次項の振幅は $|\partial_\varepsilon I(E_1,0)|^2$ によって支配され、これは $\widetilde{\varepsilon}$ における摂動展開の曲率を決定する。
• 固有値条件の完全な漸近的展開は複素 WKB アプローチにより導出され、量子化条件は $\widetilde{f}^{c}(\widetilde{\varepsilon},\widetilde{\kappa};h) = m(\widetilde{\varepsilon},\widetilde{\kappa};h)(\widetilde{\varepsilon}^2 - \widetilde{\varepsilon}_c^2)$ と表される。ここで $m$ は正則なシンボルであり、主要項は $|\partial_\varepsilon I(E_1,0)|$ である。