[論文レビュー] PT symmetry as a necessary and sufficient condition for unitary time evolution

Philip D. Mannheim|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、非エルミート量子系における時間発展のユニタリティに関して、PT対称性（すなわち、正規方程式の実数性）が、必要かつ十分であることを確立している。任意のPT対称ハミルトニアンに対して、時間に依存しない演算子Vが存在し、VHV⁻¹ = H† を満たすことが証明されており、これによりVに依存する内積が定義され、時間経過に伴ってノルムが保存される。したがって、固有値が複素共役対であっても、実数であっても、完全な固有状態を有する場合でもユニタリティが保証される。

ABSTRACT

While Hermiticity of a time-independent Hamiltonian leads to unitary time evolution, in and of itself, the requirement of Hermiticity is only sufficient for unitary time evolution. In this paper we provide conditions that are both necessary and sufficient. We show that $PT$ symmetry of a time-independent Hamiltonian, or equivalently, reality of the secular equation that determines its eigenvalues, is both necessary and sufficient for unitary time evolution. For any $PT$-symmetric Hamiltonian $H$ there always exists an operator $V$ that relates $H$ to its Hermitian adjoint according to $VHV^{-1}=H^{\\dagger}$. When the energy spectrum of $H$ is complete, Hilbert space norms $<\\psi_1|V|\\psi_2>$ constructed with this $V$ are always preserved in time. With the energy eigenvalues of a real secular equation being either real or appearing in complex conjugate pairs, we thus establish the unitarity of time evolution in both cases. We also establish the unitarity of time evolution for Hamiltonians whose energy spectra are not complete. We show that when the energy eigenvalues of a Hamiltonian are real and complete the operator $V$ is a positive Hermitian operator, which has an associated square root operator that can be used to bring the Hamiltonian to a Hermitian form. We show that systems with $PT$-symmetric Hamiltonians obey causality. We note that Hermitian theories are ordinarily associated with a path integral quantization prescription in which the path integral measure is real, while in contrast non-Hermitian but $PT$-symmetric theories are ordinarily associated with path integrals in which the measure needs to be complex, but in which the Euclidean time continuation of the path integral is nonetheless real. We show that through $PT$ symmetry the fourth-order derivative Pais-Uhlenbeck theory can be stabilized against transitions to states negative frequency.

研究の動機と目的

• 非エルミートハミルトニアンがユニタリ時間発展をもたらす一般条件を特定すること。
• ヒルベルト空間のエルミート性よりも弱い条件であるが、必要かつ十分であるPT対称性（または正規方程式の実数性）がユニタリティに与える影響を示すこと。
• 時間に依存しない演算子Vを構成し、Hとその随伴H†を関係づけることにより、すべてのエネルギー固有状態に対してノルムを保存する内積を可能にすること。
• 不完全な固有値スペクトルやジョルダン・ブロックを持つハミルトニアンに対してもユニタリティを拡張すること。
• PT対称系が因果律を満たし、複素測度を伴うが実数のユークリッド的続行を持つ経路積分を用いて一貫した量子化が可能であることを示すこと。

提案手法

• 非エルミート系に対して標準的なディラック内積の代わりに、Vに依存する内積⟨Rj(t)|V|Ri(t)⟩を定義する。
• シュレーディンガー方程式とその随伴方程式を用いて、V内積の時間発展を導出し、時間不変性のための条件VHV⁻¹ = H† を得る。
• このようなVの存在が、固有値が実数であっても複素共役対であっても、ユニタリ時間発展の必要かつ十分条件であることを確立する。
• 固有値が実数かつ完全な場合、Vは正定値エルミート演算子となり、ユニタリ変換によってエルミートハミルトニアンに変換可能であることを示す。
• 2レベル系に対してP、T、C演算子を明示的に構成し、PT対称性とCPT対称性を検証し、C² = I を満たす正規化されたC演算子を構築する。
• PT対称理論の経路積分が実数のユークリッド的続行を持つことを示し、複素測度を伴うが一貫した量子化が可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エルミート量子系において、PT対称性はユニタリ時間発展の必要かつ十分条件であるか？
• RQ2 任意のPT対称ハミルトニアンに対して、VHV⁻¹ = H† を満たす時間に依存しない演算子Vを構成できるか？ そして、これによりノルム保存が保証されるか？
• RQ3 複素共役固有値対や不完全なスペクトルを持つハミルトニアンに対しても、ユニタリティはどのように拡張されるか？
• RQ4 非エルミートハミルトニアンを伴うPT対称理論において、因果律と一貫した経路積分による量子化は維持可能か？
• RQ5 Vが正規化されていない場合、C演算子は正定値内積を構成するために果たす役割は何か？

主な発見

• PT対称性は、標準的なエルミート性の条件を一般化し、ユニタリ時間発展の必要かつ十分条件である。
• 任意のPT対称ハミルトニアンHに対して、時間に依存しない演算子Vが存在し、VHV⁻¹ = H† を満たす。これにより、⟨ψ₁|V|ψ₂⟩を用いたノルム保存が保証される。
• エネルギースペクトルが完全かつ実数である場合、Vは正定値エルミート演算子であり、その平方根を用いてユニタリ変換によりエルミートハミルトニアンに変換可能である。
• 複素共役固有値対を有する場合でさえも、Vに依存する内積は時間不変であり、ユニタリティが保たれる。
• Vは一意でない。正規化の自由度を用いて、C² = I を満たす正規化されたC演算子を構築可能であり、CPT対称性を満たす。
• PT対称理論の経路積分は実数のユークリッド的続行を持つため、複素測度を伴うが一貫した量子化が可能である。