[論文レビュー] PTAS for Ordered Instances of Resource Allocation Problems with Restrictions on Inclusions

Kamyar Khodamoradi, Ramesh Krishnamurti+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2016

Supply Chain and Inventory Management参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、各プレイヤーのリソースへの関心が連続する区間を形成する順序付きかつ包含関係のないインスタンスにおいて、Max-MinおよびMin-Maxリソース割り当て問題の多項式時間近似スキーム（PTAS）を提示する。この手法は、丸められたインスタンス値における動的計画法と剰余グラフ再構築を用い、(1 + 4/k + 3/k²)-近似を得る。これにより、凸二部グラフおよび包含関係のない二部順列グラフにおいてPTASの可能性が裏付けられる。

ABSTRACT

We consider the problem of allocating a set $I$ of $m$ indivisible resources (items) to a set $P$ of $n$ customers (players) competing for the resources. Each resource $j \in I$ has a same value $v_j > 0$ for a subset of customers interested in $j$, and zero value for the remaining customers. The utility received by each customer is the sum of the values of the resources allocated to her. The goal is to find a feasible allocation of the resources to the interested customers such that for the Max-Min allocation problem (Min-Max allocation problem) the minimum of the utilities (maximum of the utilities) received by the customers is maximized (minimized). The Max-Min allocation problem is also known as the extit{Fair Allocation problem}, or the extit{Santa Claus problem}. The Min-Max allocation problem is the problem of Scheduling on Unrelated Parallel Machines, and is also known as the $R \, | \, | C_{\max}$ problem. In this paper, we are interested in instances of the problem that admit a Polynomial Time Approximation Scheme (PTAS). We show that an ordering property on the resources and the customers is important and paves the way for a PTAS. For the Max-Min allocation problem, we start with instances of the problem that can be viewed as a extit{convex bipartite graph}; a bipartite graph for which there exists an ordering of the resources such that each customer is interested in (has a positive evaluation for) a set of extit{consecutive} resources. We demonstrate a PTAS for the inclusion-free cases. This class of instances is equivalent to the class of bipartite permutation graphs. For the Min-Max allocation problem, we also obtain a PTAS for inclusion-free instances. These instances are not only of theoretical interest but also have practical applications.

研究の動機と目的

• 順序付きかつ包含関係のないインスタンスにおけるMax-MinおよびMin-Maxリソース割り当て問題のPTASの開発を目的とする。
• PTASの設計を可能にする構造的性質（特に順序付けと包含関係の不在）を同定することを目的とする。
• 凸二部グラフおよび包含関係のない二部順列グラフが、公平な割り当ておよびスケジューリング問題においてPTASを有することを確立することを目的とする。
• 値の丸めと剰余グラフ再構築を組み合わせた動的計画法が、(1 + 4/k + 3/k²)-近似を達成することを示すこと。
• リソース割り当て問題のインスタンスにおいて、PTASが適用可能か不可能かを分類する二分法的分類の可能性を検討すること。

提案手法

• アイテム集合 I とプレイヤー集合 P を持つ二部グラフ H = (I, P, E) としてリソース割り当て問題をモデル化し、辺は正の評価値を示す。
• アイテム値を 1/k の有理数倍に丸めることで離散化し、丸められたベクトルにおける多項式時間の動的計画法を可能にする。
• 各エントリがビットフラグと以前の状態へのポインタを格納する、サイズ m × n^{C+1} の動的計画テーブル T を構築する。
• 部分割当の整合性を確認するための 'retrieval' 関数を用いて、前方フェーズのアルゴリズムによりテーブルを埋める。
• ポインタを用いた後退的再構築により、テーブルから実際の割当を回復させ、丸められたインスタンスにおける各マシンの総負荷が最適値の (1 + 3/k) 以内に収まるように保証する。
• アライメント誤差の境界と丸め誤差の解析を組み合わせることで、元の問題における全体の近似比が (1 + 4/k + 3/k²) であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序付きかつ包含関係のないインスタンスにおいて、Max-MinおよびMin-Maxリソース割り当て問題のためのPTASを設計可能か？
• RQ2 二部グラフのどの構造的性質（特に順序付けと包含関係の不在）がPTASの存在を可能にするか？
• RQ3 値の丸めと剰余グラフ再構築が、リソース割り当て問題における近似保証をどの程度維持するか？
• RQ4 PTASが適用可能な二部グラフクラスと不可能なクラスを分ける二分法的分類が存在するか？
• RQ5 動的計画法のアプローチは、マージン付き包含区間インスタンスに拡張可能か？

主な発見

• 包含関係のない凸二部グラフ（すなわち二部順列グラフに等価）において、Max-Min割当問題のPTASが確立された。
• 同様の包含関係のない順序付き制約下で、Min-Max割当問題（R||C_max）に対してもPTASが開発された。
• 値の丸めと剰余グラフ再構築を組み合わせることで、両問題に対して(1 + 4/k + 3/k²)-近似が達成された。
• アルゴリズムの実行時間は O((m + n) × n^{2(C+1)}) であり、固定された k に対して入力サイズに関して多項式時間である。
• 1-割当が存在する限り (1 + 1/k)-割当が存在することを示す可能性に関する補題により、アルゴリズムの正しさが証明された。
• 構造的順序付けと包含関係の不在が、リソース割当問題におけるPTASの存在にとって十分な条件であることが示された。