[論文レビュー] PU(2) Monopoles, I: Regularity, Uhlenbeck Compactness, and Transversality

Paul M. N. Feehan, Thomas G. Leness|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 1997

Geometric and Algebraic Topology被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、4次元多様体上のPU(2)モノポールのモジュライ空間の基礎的解析的結果を確立し、PU(2)モノポール方程式について正則性、Uhlenbeckコンパクト性、横断性を証明する。ホロノミー摂動とSobolev推定を用いた解析的枠組みを提供することで、低レベルのSeiberg-Wittenモジュライ空間のリンクを構成可能とし、今後のコhomology類とのペアリング計算やWitten予想の証明に寄与する。

ABSTRACT

We prove the existence of perturbations for the PU(2) monopole equations, yielding transversality on the complement of the anti-self-dual or reducible solutions, and the existence of an Uhlenbeck compactification for the moduli space of solutions to these perturbed PU(2) monopole equations. In December 1994, V. Pidstrigach and A. Tyurin and then others proposed a method to prove Witten's conjecture concerning the relation between the Donaldson and Seiberg-Witten invariants of smooth four-manifolds. Their proposal uses a moduli space of solutions to the PU(2) monopole equations, which are a natural generalization of the U(1) monopole equations of Seiberg and Witten and the equation for anti-self-dual SO(3) connections, to construct a cobordism between links of compact moduli spaces of U(1) monopoles of Seiberg-Witten type and the moduli space of anti-self-dual connections, which appear as singularities in this larger moduli space. A basic requirement of this cobordism technique is the existence of an Uhlenbeck compactification for the moduli space of PU(2) monopoles and of generic-parameter transversality results for all the moduli spaces of PU(2) monopoles which appear in this compactification, on the complement of the anti-self-dual and U(1) solutions.

研究の動機と目的

• Uhlenbeckコンパクト化における低レベル還元的構成の技術的困難を克服し、Seiberg-Witten不変量とDonaldson不変量をコボルディズム構成によって関連付けることを目的とするPU(2)モノポールプログラムにおける解析的課題に取り組む。
• Uhlenbeckコンパクト化における低レベル還元的構成に起因する技術的困難を克服する。
• PU(2)モノポール方程式の正則性、Uhlenbeckコンパクト性、横断性を確立し、将来のグルーリングおよびコhomologicalペアリング計算を可能にする。
• Sobolev空間、ホロノミー摂動、有界微分を用いた、PU(2)モノポールのモジュライ空間の厳密な解析的枠組みを提供する。
• Witten予想の検証に不可欠な、低レベルSeiberg-Wittenモジュライ空間のリンクとコhomology類のペアリングを計算する基盤を構築する。

提案手法

• 4次元多様体X上のヘルミート2次元バンドルE上でのPU(2)モノポールを扱い、固定された確定線束とユニタリ接続を仮定する。
• L^2_k接続AをSU(E)バンドル上で定義し、W^+ ⊗ Eの断面に作用する関連するディラック作用素D_Aを用いて、PU(2)モノポールのモジュライ空間を定義する。
• 切断関数、ホロノミー写像、熱核作用素を用いて構成された写像m_{j,l,α}を通じてホロノミー摂動を適用し、横断性を達成する。
• Sobolev埋没および乗法定理を用いて摂動写像のC^sノルムを制御し、有界微分を伴うC^∞滑らかさを保証する。
• すべての順序の微分可能性について一様な制御を得るために、摂動の重み付きℓ^1_δ空間を構成する。
• 線形化作用素が全射であること、および摂動写像がC^∞かつすべての順序の微分が有界であることの証明により、摂動されたモジュライ空間が正則かつ横断的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PU(2)モノポールのモジュライ空間について、正則性とUhlenbeckコンパクト性はどのように確立されるか？
• RQ2 ホロノミー摂動下でPU(2)モノポール方程式の横断性が保証される条件は何か？
• RQ3 すべての順序の微分が有界となるように摂動写像をどのように構成できるか？
• RQ4 重み付きℓ^1_δ空間は、摂動されたモジュライ空間の収束性と滑らかさを保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 本研究で開発された解析的ツールは、低レベルSeiberg-Wittenモジュライ空間のリンクの構成をどのように支援するか？

主な発見

• PU(2)モノポールのモジュライ空間は、限界点が低レベル還元的構成に対応するwell-definedなUhlenbeckコンパクト化を持つ。
• ホロノミー摂動がすべての順序の微分が有界なC^∞写像であることが示され、摂動された方程式の横断性が保証される。
• 摂動写像m_{j,l,α}は、すべてのsについてC^sノルムで一様に有界であり、Sobolev乗法と熱核推定を用いて制御される。
• 重み付きℓ^1_δ空間の摂動により、接続空間上での総摂動ベクトル場がC^s滑らかになることが保証される。
• 摂動された設定下で、PU(2)モノポール方程式の線形化作用素が全射であることが示され、横断性が確認される。
• 本研究の構成は、将来のグルーリング理論およびコhomologicalペアリングの基礎を厳密に提供し、Witten予想の検証に不可欠である。