[論文レビュー] PU(2) monopoles. III: Existence of gluing and obstruction maps

Paul M. N. Feehan, Thomas G. Leness|ArXiv.org|Jul 16, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、PU(2)モノポールにおける接着写像と障害写像の存在を確立し、Seiberg-Witten U(1)モノポールモジュライ空間と自己双対 SO(3) 接続の間の非コンパクトなコボルディズムを構成するための重要な一歩を示している。これらの結果により、Uhlenbeckコンパクト化における特異点の位相的モデル化が可能となり、Donaldson不変量の計算がPU(2)モノポールコボルディズム枠組みを用いてWitten予想の証明に寄与する。

ABSTRACT

This is the third installment in our series of articles (dg-ga/9712005, dg-ga/9710032) on the application of the PU(2) monopole equations to prove Witten's conjecture (hep-th/9411102) concerning the relation between the Donaldson and Seiberg-Witten invariants of smooth four-manifolds. The moduli space of solutions to the PU(2) monopole equations provides a noncompact cobordism between links of compact moduli spaces of U(1) monopoles of Seiberg-Witten type and the moduli space of anti-self-dual SO(3) connections, which appear as singularities in this larger moduli space. In this paper we prove the first part of a general gluing theorem for PU(2) monopoles, with the proof of the second half to appear in a companion article. The ultimate purpose of the gluing theorem is to provide topological models for neighborhoods of ideal Seiberg-Witten moduli spaces appearing in lower levels of the Uhlenbeck compactification of the moduli space of PU(2) monopoles and thus permit calculations of their contributions to Donaldson invariants using the PU(2)-monopole cobordism.

研究の動機と目的

• Seiberg-Witten U(1)モノポールモジュライ空間と自己双対 SO(3) 接続の間の非コンパクトコボルディズムを構成するための基礎的ツールとして、接着写像と障害写像を確立すること。
• Uhlenbeckコンパクト化における理想Seiberg-Wittenモジュライ空間の近傍をモデル化するために不可欠な、PU(2)モノポールの接着プロセスにおける技術的課題を解決すること。
• PU(2)モノポールコボルディズムを用いて、滑らかな4次元多様体のDonaldson不変量とSeiberg-Witten不変量の関係を示すWitten予想の証明という広範なプログラムを支援すること。
• PU(2)モノポールの一般的接着定理の第一半分を提供すること。第二半分は同伴論文で完了する予定である。

提案手法

• 自己双対 SO(3) 接続に起因する特異点付近におけるPU(2)モノポールモジュライ空間の局所的モデルを摂動的アプローチで構成する。
• 楕円的理論とFredholm理論を適用し、線形化PU(2)モノポール作用素とその余核を解析することで、障害写像の構成を可能にする。
• 非コンパクト性と特異的挙動を扱うために、パラメトリクス構成と重み付きSobolev空間の技法を用いる。
• 特異軸付近におけるPU(2)モノポール解の漸近的展開を導出し、接着パラメータの制御と横断性の確認を可能にする。
• モジュライ空間の仮想次元と障害理論を関連付ける相対インデックス定理を導入する。
• 重み付きSobolev空間におけるBanach多様体理論と陰関数定理を用いて、摂動下での解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己双対 SO(3) 接続の特異軸付近におけるPU(2)モノポールに対して、適切に定義された接着写像をどのように構成できるか。
• RQ2 PU(2)モノポールの障害空間の構造は何か。また、その構造は特異点付近でのモジュライ空間の局所幾何をどのように制御するか。
• RQ3 重み付きSobolev空間とパラメトリクス法を用いた解析的技法により、接着写像の存在を厳密に確立できるか。
• RQ4 障害写像と接着写像は、Uhlenbeckコンパクト化における理想Seiberg-Wittenモジュライ空間の近傍をどのようにモデル化するか。
• RQ5 相対インデックス定理は、Uhlenbeckコンパクト化の異なるレベル間で接着構成が一貫性を持つように果たす役割は何か。

主な発見

• 自己双対 SO(3) 接続に対応する特異軸付近において、PU(2)モノポールに対する適切に定義された接着写像の存在が確立された。
• 障害写像は適切なSobolev空間間の有界線形作用素として構成され、モジュライ空間に対する有限codimension障害理論を提供する。
• 接着構成がUhlenbeckコンパクト化と整合することを示し、低レベルにおける理想Seiberg-Wittenモジュライ空間の位相的モデル化を可能にする。
• 障害空間は線形化PU(2)モノポール作用素の形式的随伴作用素の核として同定され、局所モジュライ空間構造を制御する役割を確認した。
• これらの結果により、PU(2)モノポールコボルディズムを用いて特異ストラトゥムの寄与をDonaldson不変量に計算するための解析的基盤が提供された。
• 本稿では一般的接着定理の第一半分を確立し、第二半分は同伴論文で完了する予定である。