[論文レビュー] Public key exchange using semidirect product of (semi)groups

Maggie Habeeb, Delaram Kahrobaei+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2013

DNA and Biological Computing参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、(半)群の半自己積に基づく、新しい公開鍵交換プロトコルを提案する。特に、群を自己同型によって拡張する。非可換半群、特に群環 ℤ₇[A₅] 上の行列を用いて、参加者が部分的な結果のみを送信する鍵交換を構築し、古典的なDiffie-Hellman問題とは異なる仮定に基づく安全性を提供する。A₅の単純性のおかげで、ホモモルフィズムに基づく攻撃に対して耐性がある。

ABSTRACT

In this paper, we describe a brand new key exchange protocol based on a semidirect product of (semi)groups (more specifically, on extension of a (semi)group by automorphisms), and then focus on practical instances of this general idea. Our protocol can be based on any group, in particular on any non-commutative group. One of its special cases is the standard Diffie-Hellman protocol, which is based on a cyclic group. However, when our protocol is used with a non-commutative (semi)group, it acquires several useful features that make it compare favorably to the Diffie-Hellman protocol. Here we also suggest a particular non-commutative semigroup (of matrices) as the platform and show that security of the relevant protocol is based on a quite different assumption compared to that of the standard Diffie-Hellman protocol.

研究の動機と目的

• 半自己積の(半)群を用いて、Diffie-Hellmanプロトコルを一般化する新しい公開鍵交換プロトコルを開発すること。
• 非可換半群、特に群環上の行列半群を用いたプロトコルの実装可能性を検討すること。
• 非アーベルなプラットフォームが用いられる場合、プロトコルの安全性が標準的なDiffie-Hellman問題とは異なる計算的仮定に基づくことを示すこと。
• プラットフォーム要素を、自明化写像において消えるように選ぶことで、群準同型による情報漏洩を防止すること。
• 完全なべき乗の送信に比べ、送信データ量を小さくした安全で効率的な鍵交換メカニズムを提供すること。

提案手法

• プロトコルは、H が Aut(G) の部分群である G ⋊ₚ H の半自己積を用い、共役に類似した操作を用いて鍵交換を構築する。
• 参加者は部分的な結果を計算・交換する：アリスは H⁻ᵐ(HM)ᵐ を送信し、ボブは H⁻ⁿ(HM)ⁿ を送信する。ここで M は ℤ₇[A₅] 上の非可逆行列である。
• 共有秘密鍵 K は、両者とも交換された値から独立に K = H⁻⁽ᵐ⁺ⁿ⁾(HM)ᵐ⁺ⁿ として導出される。
• プラットフォームは、各成分の和がゼロになるように選ばれた ℤ₇[A₅] 上の 3×3 行列を用いる。これにより、自明化準同型写像下での情報漏洩を防止する。
• 可逆行列 H は、ℤ₇[A₅] 内で可逆な対角成分を持つランダムな上三角・下三角行列 20 個の積としてサンプリングされる。
• 要素の位数に依存しないように、ループを有する非可逆行列を用いることで、ブルートフォース攻撃が標準的なDiffie-Hellmanよりも困難になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型による(半)群の半自己積を用いて、Diffie-Hellmanプロトコルを一般化した公開鍵交換プロトコルを構築できるか？
• RQ2 非可換半群をプラットフォームとして用いる場合、安全性の仮定が古典的なDiffie-Hellman問題とは異なるか？
• RQ3 成分の和がゼロになる ℤ₇[A₅] 行列を用いた、情報漏洩を制御した効率的かつ安全な鍵交換が可能か？
• RQ4 特に自明化写像を含む群準同型に基づく攻撃に対して、どのようにプロトコルを設計すれば耐性を持たせられるか？
• RQ5 プラットフォーム要素が有限位数ではなく小さなループを持つ場合でも、プロトコルの安全性は保たれるか？

主な発見

• プロトコルはDiffie-Hellman鍵交換を一般化し、プラットフォーム群が巡回群である場合にはそれと一致する。
• 非アーベルの場合の安全性は、(h, h⁻ᵐgᵐ, h⁻ⁿgⁿ) から K = h⁻⁽ᵐ⁺ⁿ⁾gᵐ⁺ⁿ を回復する難易度に基づく。これは離散対数問題やDiffie-Hellman問題とは異なる問題である。
• 成分の和がゼロになる ℤ₇[A₅] 上の行列の使用により、自明化準同型写像下ですべての送信行列がゼロ行列に写されるため、情報漏洩が防がれる。
• プラットフォーム群 A₅ は単純であり、非自明な準同型写像を持たないため、盗聴者が準同型写像による部分的鍵情報の取得を試みることができない。
• 非可逆行列とループの使用により、ブルートフォース攻撃が標準的なDiffie-Hellmanよりも困難になるため、攻撃耐性が向上する。
• 可逆行列 H のサンプリング手順は効率的であり、20個のランダムな三角行列の積を用いることで、実用性を損なわず、安全性を保証する。