[論文レビュー] Puiseux coefficients and parametric deformation of plane curve singularities

Maciej Borodzik|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、パラメトリックな変形における特異点のパラメータ化された曲線のべき級数展開から得られるPuiseux係数の変化を分析することにより、尖点を持つ平面曲線特異点のパラメトリック変形を調査する。高次導関数がインデックスの和にのみ依存することを示し、WDVVに類似した方程式を導出し、予期しない関数的依存性を明らかにする。特異点理論における隣接性の主要な結果と、位相的型の保存における本質的・非本質的項の役割が明らかになる。

ABSTRACT

We study deformations of plane curve singularities from an analytic point of view and obtain some new concrete results. We show some rather unexpected properties of Puiseux coefficients treated as functions on a suitably defined parameter space. The methods used in paper are very elementary.

研究の動機と目的

• パラメトリック変形の下で平面曲線特異点のPuiseux係数がどのように変化するかを理解すること。
• 特異点の位相的型を決定づける本質的・非本質的項の役割を明確にすること。
• 変形における係数の変化を分析することにより、特異点理論における隣接問題を解決すること。
• Puiseux係数の高次導関数を解析することで、予期しない関数的性質がどのように生じるかを明らかにすること。
• Puiseux係数から導かれる特定の生成関数が満たすWDVVに類似した方程式を確立すること。

提案手法

• 変形パラメータ s の関数と見なした Puiseux 係数 a_j(s), b_j(s) を、複素数パラメータ s に関して正則に変化させることで変形をモデル化する。
• 初期係数 a_p, a_{p+1}, ..., b_q, b_{q+1}, ... を用いて、多項式表現 γ_j(s) を介して Puiseux 係数 c_j(s) を有理関数として表現する。
• パラメータ化の逆関数から得られる係数 g_k の生成関数 G を導入し、高次導関数の研究に用いる。
• 合成関数の法則と陰関数微分法を適用し、z に関する c_k に関する偏導関数を計算することで、2階微分における i+k 依存性を明らかにする。
• 混合3階微分 ∂³g_k/∂c_i∂c_j∂c_m が i+j+m のみに依存することを示し、g_{N+3} に対して WDVV に類似した方程式の構成を可能にする。
• 行列 η において η^{ab}=1 となるのは a+b=N+1 のときのみであると定義し、g_{N+3} における WDVV 方程式の構造を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメトリック族における平面曲線特異点のPuiseux係数は、変形パラメータの関数としてどのように振る舞うか？
• RQ2 Puiseux展開におけるどの項が、変形の下でも特異点の位相的型を保存するために本質的か？
• RQ3 変形における係数の変化を追跡することで、特異点の隣接問題を解消できるか？
• RQ4 Puiseux係数の高次導関数を解析することで、どのような関数的依存性が生じるか？
• RQ5 Puiseux係数の生成関数は、WDVV型方程式を満たすか？もしそうならば、どのような条件下で満たすか？

主な発見

• 生成関数 g_k の高次偏導関数は、インデックスの和 i+j+k のみに依存し、個々の値には依存しない。
• 3階微分 ∂³g_k/∂c_i∂c_j∂c_m は i+j+m のみに依存し、C^N 上の g_{N+3} に対して WDVV に類似した方程式が得られる。
• 任意の N>2 に対して WDVV 方程式が満たされ、行列 η によって定義される構造が、a+b=N+1 のとき 1、それ以外は 0 である。
• 得られる C^N 上の積は結合的であるが、退化しており、「質量なし」のフロベニウス構造であることを示唆する。
• 変形パラメータに関するPuiseux係数の関数的依存性は、インデックスの和にわたる非自明で対称的な振る舞いを示す。
• 本稿は、例えばPuiseux展開におけるc_7のような非本質的係数を変更しても特徴的系列が変わらない一方、本質的係数を変更すると特徴的系列が変化することを確認している。