[論文レビュー] Pullback attractors for a singularly nonautonomous plate equation

Vera Lúcia Carbone, Marcelo J. D. Nascimento+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2010

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有界領域における構造的減衰を伴う特異的非-autonomous梁方程式に対して、引き込み吸引点の存在を確立し、減衰パラメータ $\varepsilon \to 0$ の際に吸引点の族が上半連続であることを証明する。解析はエネルギー推定、発展過程理論、およびグローヴァルの不等式に依拠し、減衰係数の小さな摂動下での解および吸引点の収束を示す。

ABSTRACT

We consider the family of singularly nonautonomous plate equation with structural damping \[ u_{tt} + a(t,x)u_{t} + (- Δ) u_{t} + (-Δ)^{2} u + λu = f(u), \] in a bounded domain $Ω\subset \R^n$, with Navier boundary conditions. When the nonlinearity $f$ is dissipative we show that this problem is globally well posed in $H^2_0(Ω) imes L^2(Ω)$ and has a family of pullback attractors which is upper-semicontinuous under small perturbations of the damping $a$.

研究の動機と目的

• 時間に依存する減衰を伴う非-autonomous梁方程式の漸近的挙動を、引き込み吸引点理論を用いて分析すること。
• エネルギー空間 $H^2_0(\Omega) \times L^2(\Omega)$ における方程式のグローバルな適切性を確立すること。
• 摂動パラメータ $\epsilon \to 0$ の際に引き込み吸引点の族が上半連続であることを証明すること。
• 減衰係数 $a_\epsilon(t,x)$ の小さな摂動に対する引き込み吸引点構造の安定性を検討すること。

提案手法

• セクター型作用素 $\mathcal{A}_\epsilon(t)$ を用いて、ヒルベルト空間 $X^0 = H^2_0(\Omega) \times L^2(\Omega)$ 内の1階発展系として梁方程式を定式化すること。
• 半線形問題に関連する発展過程 $S_\epsilon(t,\tau)$ を定義し、それが強く有界かつ散逸的であることを証明すること。
• エネルギー推定とグローヴァルの不等式を用いて、発展過程の漸近的コンパクト性を確立すること。
• 引き込み吸引点の抽象的理論を適用し、$X^0$ 内の引き込み吸引点族 $\{\mathbb{A}_\epsilon(t)\}$ の存在を証明すること。
• 関数 $w = u - v$ を用いて、$\epsilon$-依存と $\epsilon=0$ の問題の解の差を分析し、$\|a_0 - a_\epsilon\|_{L^\infty}$ を含む微分不等式を導出すること。
• $a_\epsilon \to a_0$ の一様収束とグローヴァルの不等式を用いて、$\epsilon \to 0$ の際に $\|w(t)\|_{X^0} \to 0$ がコンパクト時間区間上で成り立つことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造的減衰を伴う特異的非-autonomous梁方程式は、エネルギー空間 $H^2_0(\Omega) \times L^2(\Omega)$ に引き込み吸引点を有するか？
• RQ2 減衰係数 $a_\epsilon(t,x)$ が $a_0(t,x)$ に収束する際、引き込み吸引点の族は上半連続か？
• RQ3 解の挙動は減衰係数 $\epsilon$ の小さな摂動にどのように依存するか？
• RQ4 減衰関数の小さな変化に対しても、吸引点構造は安定化可能か？

主な発見

• $\epsilon \in [0,1]$ に対して、任意の $\epsilon$ に対して問題は $H^2_0(\Omega) \times L^2(\Omega)$ でグローバルに適切に定義される。
• 発展過程 $S_\epsilon(t,\tau)$ は強く有界かつ散逸的であり、これにより引き込み吸引点 $\mathbb{A}_\epsilon(t)$ の存在が保証される。
• 引き込み吸引点族 $\{\mathbb{A}_\epsilon(t)\}$ は $\epsilon = 0$ で上半連続である。すなわち、$\lim_{\epsilon \to 0} \text{dist}(\mathbb{A}_\epsilon(t), \mathbb{A}_0(t)) = 0$ が成り立つ。
• 方程式 $\epsilon$-依存と $\epsilon=0$ の解 $u$ と $v$ の差 $w$ に対して、$\|w(t)\|_{X^0} \to 0$ がコンパクト時間区間上で $\epsilon \to 0$ の際に成り立つ。
• 初期データが $X^0$ の有界集合に属する場合、吸引点の収束は一様である。この際、$a_\epsilon \to a_0$ が $\mathbb{R} \times \Omega$ 上一様収束すると仮定する。
• 証明は、解の差の方程式にエネルギー推定とグローヴァルの不等式を適用することに依拠し、収束を駆動する主要な項は $\|a_0 - a_\epsilon\|_{L^\infty}$ である。