[論文レビュー] Pulling Back Cohomology Classes and Dynamical Degrees Of Monomial Maps

Jan-Li Lin|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、単項写像におけるコhomology類のプルバックを計算するため、toric多様体上の交線論を用いた手法を開発する。これにより、高次ダイナミカル・デグリーの正確な計算が可能となる。主な結果として、全射な単項写像の $k$-番目のダイナミカル・デグリーは、その定義行列の $k$ 個の絶対値が最大の固有値の積に等しく、これは単項写像のダイナミカル・デグリーおよびトポロジカル・エントロピーに関する未解決問題を解消する。

ABSTRACT

We study the pullback maps on cohomology groups for equivariant rational maps (i.e., monomial maps) on toric varieties. Our method is based on the intersection theory on toric varieties. We use the method to determine the dynamical degrees of monomial maps and compute the degrees of the Cremona involution.

研究の動機と目的

• toric多様体上のコhomology類のプルバックを単項写像の下で系統的に計算するための手法を開発すること。
• 全射な単項写像の高次ダイナミカル・デグリー $\lambda_k(f)$ を特定すること。
• 特に [HP] の質問 9.9 および質問 9.1 を含む、単項写像のダイナミカル・デグリーおよびトポロジカル・エントロピーに関する未解決問題を解消すること。
• 開発した手法を用いて、$\mathbb{P}^n$ 上のクレモナ自己同型の次数を計算すること。

提案手法

• Minkowski重みによるコhomology類の記述を可能にする、特にチャウホモロジーおよびコホモロジー群を用いたtoric多様体上の交線論を用いる。
• 整数行列 $\psi$ によって誘導される写像 $f^*$ を通じて、コホモロジー類のプルバックを適用する。
• プルバック作用素を、単体、格子点、およびインデックス計算 $[N:N_{\sigma}+N_{\tau}]$ を含む組合せ論的公式に翻訳する。
• チャウコホモロジーとMinkowski重みの標準的同型を用いて、コホモロジー計算を格子および単体の組合せ論に還元する。
• ファン $\Delta$ 及びその双対の構造を用いて、$(\mathbb{P}^1)^n$ 上のプルバックを計算し、一般のtoric多様体へ拡張する。
• クレモナ自己同型 $J$ にこの手法を適用する際、クラス $c_{n-k}$ のプルバックを分析し、非自明な交差を持つ関連する単体対の和を取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 toric多様体上の全射な単項写像の $k$-番目のダイナミカル・デグリーは何か？
• RQ2 どのようにして、toric多様体上の交線論を用いて、単項写像の下でのコホモロジー類のプルバックを計算できるか？
• RQ3 定義行列の固有値を用いて、全射な単項写像のトポロジカル・エントロピーはどのように表せるか？
• RQ4 $\mathbb{P}^n$ 上のクレモナ自己同型の次数は何か？
• RQ5 単項写像のダイナミカル・デグリーは、それに対応する行列の固有値とどのように関係するか？

主な発見

• 全射な単項写像 $f$ が $n\times n$ 整数行列 $\psi$ によって誘導されるとき、$k$-番目のダイナミカル・デグリーは $\lambda_k(f) = |\mu_1 \cdots \mu_k|$ に等しく、ここで $|\mu_1| \geq \cdots \geq |\mu_n|$ は $\psi$ の固有値である。
• このような写像のトポロジカル・エントロピーは $h_{\text{top}}(f) = \sum_{|\mu_i| > 1} \log|\mu_i|$ に等しく、[HP] の質問 9.1 を解消する。
• 本手法は、$\mathbb{P}^n$ 上のクレモナ自己同型 $J$ の次数を効果的に計算でき、各 $k$ に対して $\deg_k(J) = \binom{n}{k}$ を示す。
• toric多様体上のコホモロジー類のプルバックは、単体の交差および格子インデックス計算を含む組合せ論的公式によって計算される。
• Favre よりも Wulcan が別法で得た結果と一貫しており、本手法の正しさを裏付ける。
• 本手法により、複雑なコホモロジー計算が、toric多様体のファン上の格子点および単体の組合せ論に簡略化される。