[論文レビュー] Pulse Propagation in Born-Infeld Theory, the World Volume Equivalence Principle and the Hagedorn-like Equation of State of the Chaplygin Gas

G. W. Gibbons|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2001

Quantum, superfluid, helium dynamics参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は1+1次元におけるBorn-Infeld理論とチャプロイニン気体の間の関係を確立し、スカラーBorn-Infeld方程式がHagedornに類似た状態方程式を有する渦度なし流体を記述することを示している。Born-Infeld理論におけるパルス伝播は、この場合平坦なBoillat計量のもとで遅れを示さないことが判明し、系の熱力学的性質は弦理論におけるHagedorn温度に類似した温度の上限を示している。

ABSTRACT

A recently proposed world-volume equivalence principal involving the Boillat, as opposed to the Einstein, metric is examined in the context of some colliding wave solutions of the Born-Infeld equations for which two plane polarized pulses pass through one another without distortion. They suffer a delay with respect to the usual Einstein metric but not with respect to the Boillat metric. Both metrics are flat in this case, and the closed string and open string causal structures are interchanged by the Legendre transformation that is used for solving the associated Monge-Ampère equation. In 1+1 dimensions the equations are known to be equivalent to the vorticity free motion of a Chaplygin gas. The latter is shown to be described by the scalar Born-Infeld equation in all dimensions and it is pointed out that the equation of state is Hagedorn-like: there is an upper bound to the pressure and temperature.

研究の動機と目的

• 1+1次元解を用いて、Born-Infeld理論における世界面等価原理を調査すること。
• Boillat計量がパルス伝播および因果的構造に与える役割を調査し、Einstein計量と対比すること。
• スカラーBorn-Infeld方程式と高次元におけるチャプロイニン気体との間の対応関係を確立すること。
• Born-Infeld理論から導かれるチャプロイニン気体の熱力学的性質を分析し、特に温度のHagedornに類似た上限の存在を特定すること。
• Monge-Ampère方程式の文脈において、Legendre変換を用いて閉弦と開弦の因果的構造の双対性を明確化すること。

提案手法

• 1+1次元Born-Infeld理論における非線形Monge-Ampère方程式を、新しい座標系におけるD’Alembert方程式へ写像するために、ホドグラフィック法とLegendre変換を用いる。
• Boillat計量 $ C^{ ueta} = \tilde{g}^{ ueta} + T^{ ueta} $ を適用し、1+1次元では平坦であるため、歪みのないパルス伝播を支配する。
• Hookeの法則を用いてエネルギー運動量テンソルを導出：$ T^{ ueta} = C^{ ueta} - \tilde{g}^{ ueta} $ であり、$ \det(T^{ ueta} + \delta^{ ueta}) = 1 $ を満たす。
• スカラーBorn-Infeldラグランジアン $ \mathcal{L} = 1 - \sqrt{1 - \eta^{\mu\nu} \partial_\mu A \partial_\nu A} $ が、状態方程式 $ (\rho + 1)(P - 1) = -1 $ を有するチャプロイニン気体と等価であることを特定。
• 熱力学的恒等式を用いて温度 $ T $ とエントロピー密度 $ s $ を計算し、$ T^2 = \eta^{\mu\nu} \partial_\mu A \partial_\nu A $ および $ s^2 = J^\mu J_\mu $ を用いる。
• Legendre双対性を用いて、閉弦（Einstein）と開弦（Boillat）の因果的構造を関連付け、変換のもとで互いに交換されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Boillat計量はBorn-Infeld理論におけるパルス伝播にどのように影響を与えるのか。なぜBoillat座標系では遅れがないのか。
• RQ2 高次元におけるスカラーBorn-Infeld方程式とチャプロイニン気体との関係は何か。
• RQ3 Born-Infeld理論から導かれるチャプロイニン気体は、Hagedornに類似た温度の上限を示すのか。
• RQ4 この系において、Legendre双対性を通じて閉弦と開弦の因果的構造はどのように関係するのか。
• RQ5 Born-Infeld/チャプロイニン気体系から生じる熱力学的性質、特に圧力、エネルギー密度、音速に関しては何か特徴的な点があるか。

主な発見

• 1+1次元では、Born-Infeld理論における2つの衝突パルスは、Boillat計量のもとで歪みなく互いに通過し、遅れがない。一方、Einstein（閉弦）計量では遅れが生じる。
• 1+1次元においてBoillat計量 $ C^{ ueta} $ は平坦であり、Legendre変換により $ (T,Z) $ の平坦な慣性座標系へ写像され、世界面等価原理が確認される。
• 高次元におけるスカラーBorn-Infeld方程式は、スカラー場 $ A $ の空間的等高線集合に対して有効な状態方程式 $ (\rho + 1)(P - 1) = -1 $ を有するチャプロイニン気体と等価である。
• 系はHagedornに類似た温度の上限を示す：$ \rho \to \infty $ のとき $ T \to 1 $ となり、$ T = \frac{s}{\sqrt{1 + s^2}} $、$ P = 1 - \sqrt{1 - T^2} $ が成り立つ。
• 音速は $ c_s = \frac{1}{\rho + 1} $ であり、低密度では光速に近づき、高密度では消滅する。これは剛体物質の振る舞いと整合的である。
• Legendre変換による熱力学的双対性により、$ P(T) = 1 - \sqrt{1 - T^2} $ と $ \rho(s) = \sqrt{1 + s^2} - 1 $ が関連づけられ、有限の最大温度を有するHagedornに類似した振る舞いが確認される。