[論文レビュー] Pure extensions of locally compact abelian groups

Peter Loth|ArXiv.org|Aug 15, 2005

Advanced Topology and Set Theory参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクトアーベル（LCA）群の圏における純粋拡大を調査し、群 Pext(C,A) が Ext(C,A) の最初のウルム部分群に一致するための条件を確立する。また、群のクラス 𝒞 に属する純粋インジェクティヴな群（コンパクト生成群と離散群の位相的直和として表現可能な群）を特徴づけ、すべての純粋拡大が分裂するような 𝒞 内の群の完全な構造的記述を、拡大および双対拡大の両設定において与える。

ABSTRACT

In this paper, we study the group Pext(C,A) for locally compact abelian (LCA) groups A and C. Sufficient conditions are established for Pext(C,A) to coincide with the first Ulm subgroup of Ext(C,A). Some structural information on pure injectives in the category of LCA groups is obtained. Letting K denote the class of LCA groups which can be written as the topological direct sum of a compactly generated group and a discrete group, we determine the groups G in K which are pure injective in the category of LCA groups. Finally we describe those groups G in K such that every pure extension of G by a group in K splits and obtain a corresponding dual result.

研究の動機と目的

• 局所コンパクトアーベル群 A および C に対して、Pext(C,A) が Ext(C,A) の最初のウルム部分群に一致する条件を特定すること。
• 特に、コンパクト生成群と離散群の位相的直和として表現可能な群のクラス 𝒞 に属する、LCA 群の圏における純粋インジェクティヴな群を特徴づけること。
• クラス 𝒞 内の群 G で、G に属する群によるすべての純粋拡大が分裂するもの、および双対的に、𝒞 内の群による G へのすべての純粋拡大が分裂するものを見つけること。
• ベクトル群、トローラル群、有限巡回群の積、有界または直和の形をした離散群を用いた、このような群の構造的分解を確立すること。
• LCA 群の文脈において、位相的純粋性、インジェクティビティ、拡大の分裂の関係を明確にすること。

提案手法

• Pontrjagin双対性と annihilator 理論を用いて、LCA 群の圏における Ext および Pext 群の関係を確立する。
• 純粋部分群および位相的純粋性に関する定理を適用し、特に [L1] のコンパクト生成群における純粋部分群に関する結果を活用する。
• 有限性条件の下で、Pext(⊕H_i, G) ≅ ∏ Pext(H_i, G) （H_i が離散群の場合）および Pext(G, ∏H_i) ≅ ∏ Pext(G, H_i) （H_i がコンパクト群の場合）の同型を用いる。
• 離散で還元可能なねじれ群 A およびコンパクト生成群 G に対して Ext(G, A) = 0 であることを用いて、純粋拡大の分裂を証明する。
• Pontrjagin双対を用いた双対性を適用し、分裂拡大の双対的特徴づけを導出する。
• 既知の構造定理を適用する：例えば、代数的にコンパクトな群は可除群と還元可能な群の直和に分解可能であり、また還元可能なねじれ群がコトールシオンである場合に有界であることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LCA 群 A および C に対して、Pext(C,A) が Ext(C,A) の最初のウルム部分群に一致する条件は何か？
• RQ2 クラス 𝒞（コンパクト生成群と離散群の位相的直和として表現可能な群）に属する群の中で、LCA 群の圏において純粋インジェクティヴであるのはどれか？
• RQ3 クラス 𝒞 内の群 G で、G に属する群によるすべての純粋拡大が分裂するものはどれか？
• RQ4 クラス 𝒞 内の群による G へのすべての純粋拡大が分裂するような G に対して、双対的特徴づけは何か？
• RQ5 ベクトル群、トローラル群、有限巡回群の積、有界離散群といった構造的成分は、𝒞 内の純粋拡大の分裂とどのように関係するか？

主な発見

• A および C がコンパクト生成群であるか、または小さな部分群を持たない場合、Pext(C,A) は Ext(C,A) の最初のウルム部分群に一致する。
• 𝒞 に属する群 G が LCA 群の圏において純粋インジェクティヴであるための必要十分条件は、G ≅ ℝⁿ ⊕ Tᵐ （n ≥ 0 および基数 m）と表せることである。
• G に属する群によるすべての純粋拡大が分裂するための必要十分条件は、G ≅ ℝⁿ ⊕ Tᵐ ⊕ A ⊕ B と表せることであり、ここで A は有限巡回群の直積、B は有界離散群である。
• 双対的に、𝒞 内の群による G へのすべての純粋拡大が分裂するための必要十分条件は、G ≅ ℝⁿ ⊕ C ⊕ D と表せることであり、ここで C はコンパクトなねじれ群、D は巡回群の直和の形の離散群である。
• 離散で還元可能なねじれ群 A およびコンパクト生成群 X に対して、Pext(X,A) = 0 であるため、すべてのこのような純粋拡大は分裂する。
• 𝒞 内の純粋インジェクティヴな群のクラスは、ちょうど 𝒞 内のインジェクティヴな群のクラスに一致し、それらは正確に ℝⁿ ⊕ Tᵐ の形の群である。