[論文レビュー] Pure Measures, Density Measures and the Dual of L-infinity

Moritz Schönherr, Friedemann Schuricht|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2017

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$L^∞(\mathbb{R}^n)$ の双対空間の明確で意味のある表現を提供する、新たな有限加法的測度のクラスとしての密度測度を導入する。これは抽象的構成を超えて、具体的な表現を可能にする。密度測度が純粋であること、およびトレースや表面積分の表現に利用可能であることが示され、$\mathbb{R}^n$ 上の微分積分学および関数解析のための新しい枠組みを提供する。

ABSTRACT

Measures play an important role in the characterisation of various function spaces. In this paper, the structure of density measures will be investigated. These are elements of the dual of the space of essentially bounded func- tions. The main results presented here are a more precise representation of the dual of the space of essentially bounded functions, leading to the notion of pure measures, and the definition and analysis of density measures which constitute a large class of such measures. It is shown that density measures have applications in the context of traces. In particular, new and meaningful examples of pure measures are given on Rn, in contrast to common examples in the literature, which are usually constructed on N.

研究の動機と目的

• 一般の有界加法的測度を超えて、$L^\infty(\Omega, \mathcal{L}^n)$ の双対空間の表現を精緻化すること。
• 密度測度を、$\mathbb{R}^n$ 上の大きな意味のある純粋測度のクラスとして定義し、その性質を分析すること。
• $\mathbb{R}^n$ 上での純粋測度の明示的構成例を提示し、$\mathbb{N}$ 上の典型的な構成と対比すること。
• これらの測度を用いてトレース理論および微分積分学への応用を示すこと。
• 密度測度の集合の極値点を特徴づけ、特異なレーダン測度と関連付けること。

提案手法

• 測度のベクトル格子の純粋成分を特定するために、ラティス理論的分解技法を用いる。
• ルベーグ測度がゼロとなる集合（境界や低次元集合など）に台を持つレーダン測度による積分によって、密度測度を定義する。
• 基本的な測度論および双対性を用いて、密度測度が $(L^\infty)^*$ の元を表すことを示す。
• 純粋測度の台を特定するために測度のコアの概念を用いる。特に $\partial\Omega$ のような集合において有効である。
• リースの表現定理およびその拡張を用いて、$\mu$ による積分と古典的表面積分との関連を確立する。
• ガウス＝グリーンの定理を適用し、表面フラックスが純粋で密度型の測度による積分として表現可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、一般の有界加法的測度を超えて、$L^\infty(\Omega, \mathcal{L}^n)$ の双対空間を精緻化できるか？
• RQ2 $(L^\infty(\mathbb{R}^n))^*$ 上の純粋測度の構造は何か？ また、$\mathbb{R}^n$ 上で明示的に構成可能か？
• RQ3 密度測度はトレース理論への応用を想定した意味のある純粋測度のクラスとして機能可能か？
• RQ4 測度のコアは、純粋測度およびその台を特徴付けるために果たす役割は何か？
• RQ5 密度測度は古典的表面積分および微分積分学とどのように関係するか？

主な発見

• 密度測度は、ルベーグ測度がゼロとなる集合に台を持つレーダン測度による積分によって定義される、$(L^\infty(\Omega, \mathcal{L}^n))^*$ 上の大きな純粋測度のクラスである。
• 任意の閉集合 $C \subset \overline{\Omega}$ で、$\mathcal{L}^n(C \cap \Omega) = 0$ かつ任意の近傍で正の測度を持つものに対して、すべての $\phi \in C_0(\Omega)$ に対して $\int_\Omega \phi \, d\mu = \int_C \phi \, d\sigma$ を満たす純粋測度 $\mu$ が存在する。
• 関連するレーダン測度 $\sigma$ がルベーグ測度に対して特異であれば、その測度 $\mu$ は純粋である。
• このような測度 $\mu$ のコアは台集合 $C$ に含まれる。特に $\Omega$ が滑らかな境界を持つ場合、$\mu$ は $\int_\Omega \phi \, d\mu = \int_{\partial\Omega} \phi \, d\mathcal{H}^{n-1}$ として表面積分として表現可能である。
• 表面フラックス $\int_{\partial\Omega} \phi \cdot \nu \, d\mathcal{H}^{n-1}$ は、純粋測度 $\mu$ を用いて $\int_\Omega \phi \, d\mu$ として表現可能であり、発散定理と関連付けることができる。
• 密度測度の集合の極値点は、ルベーグ測度がゼロとなる集合上に台を持つデルタ型測度に対応するものとして特徴づけられる。