[論文レビュー] Pure point/Continuous decomposition of translation-bounded measures and diffraction

Jean-Baptiste Aujogue|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2015

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 72被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクトアーベル群上の移動有界測度が、純粋点成分と連続成分にほぼ確実に分解可能であることを確立している。その分解において、それぞれの回折が元の測度の回折の純粋点部および連続部と一致する。この結果は、エルゴディック性の仮定のもとで成り立ち、重み付きメイヤー集合へと拡張可能であり、分解において構造的性質が保存される。

ABSTRACT

In this work we consider translation-bounded measures over a locally compact Abelian group $\\mathbb{G}$, with particular interest for their so-called diffraction. Given such a measure $\\Lambda$, its diffraction $\\widehat{\\gamma}$ is another measure on the Pontryagin dual $\\widehat{\\mathbb{G}}$, whose decomposition into the sum $\\widehat{\\gamma} = \\widehat{\\gamma}_{\\mathrm{p}}+ \\widehat{\\gamma}_{\\mathrm{c}}$ of its atomic and continuous parts is central in diffraction theory. The problem we address here is whether the above decomposition of $\\widehat{\\gamma}$ lifts to $\\Lambda$ itself, that is to say, whether there exists a decomposition $\\Lambda = \\Lambda _{\\mathrm{p}} + \\Lambda _{\\mathrm{c}}$, where $\\Lambda _{\\mathrm{p}}$ and $\\Lambda _{\\mathrm{c}}$ are translation-bounded measures having diffraction $\\widehat{\\gamma}_{\\mathrm{p}}$ and $\\widehat{\\gamma}_{\\mathrm{c}}$ respectively. Our main result here is the almost sure existence, in a sense to be made precise, of such a decomposition. It will also be proved that a certain uniqueness property holds for the above decomposition. Next we will be interested in the situation where translation-bounded measures are weighted Meyer sets. In this context, it will be shown that the decomposition, whether it exists, also consists of weighted Meyer sets. We complete this work by discussing a natural generalization of the considered problem.

研究の動機と目的

• 混合回折スペクトルを有する移動有界測度が、元の回折の純粋点部および連続部と一致する回折を有する成分への分解を許容するかを同定すること。
• エルゴディック理論および確率的力学系を用いて、確率論的・ほぼ確実な意味でそのような分解の存在を確立すること。
• 元の測度が重み付きメイヤー集合である場合、その分解における構造的保存性を調査すること。
• この分解枠組みをより広いクラスの測度および回折現象へと一般化すること。
• 準結晶モデルにおける混合回折スペクトルの解釈のための厳密な数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 測度に関連する力学系におけるエルゴディック理論を用い、構造を確率空間内の確率的要素としてモデル化する。
• 点ごとのエルゴディック定理を適用し、群作用の下で乗法的性質を有する固有関数を構成する。
• 力学系から双対群への可測写像を定義し、等変性および測度保存性を保証する。
• スペクトル的性質および固有関数の構造を用いて、回折分解を引き上げることで測度の分解を構成する。
• 温度付きヴァンホーヴェ列を用いて、自己相関および回折測度の極限を定義する。
• ポントリャーギン双対性を用いて、元の群とその双対群を関連付け、回折スペクトルの分析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回折測度の純粋点部および連続部が、元の移動有界測度に対応する分解に引き上げられるか。
• RQ2 そのような分解が確率的設定においてほぼ確実に存在する条件は何か。
• RQ3 元の測度が重み付きメイヤー集合である場合、その分解がメイヤー集合の性質を保存するか。
• RQ4 移動有界測度の文脈において、そのような分解の一意性の性質は何か。
• RQ5 下位の力学系のエルゴディック構造が、分解の構成をどのように支援するか。

主な発見

• エルゴディック性の仮定のもとで、回折測度の純粋点部および連続部の分解が、元の測度にほぼ確実に引き上げられる。
• 決定論的分解の存在が失敗しても、測度論的意味でそのような分解の存在が保証される。
• 測度の純粋点成分の回折は、元の回折の純粋点部と等しく、同様に連続成分についても同様である。
• 測度論的枠組みにおいて、その分解は零集合を除いて一意的である。
• 元の測度が重み付きメイヤー集合である場合、分解の両成分も重み付きメイヤー集合である。
• 乗法的性質を有する固有関数および点ごとのエルゴディック定理を用いることで、群作用全体にわたる一貫性が保証される。