[論文レビュー] Pure point spectrum for dynamical systems and mean almost periodicity

Daniel Lenz, Timo Spindeler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、一般点の平均的ほぼ周期性を用いて、エルゴード的力学系における純点スペクトルを特徴づけるものであり、その系が純点スペクトルを持つための必要十分条件として、ほとんどすべての点が平均的ほぼ周期的であること、すなわち、系が純点スペクトルを持つことと、ほとんどすべての点が平均的ほぼ周期的であることの同値性を示している。さらに、ベシコビッチ的およびウェイリのほぼ周期性が固有関数や測度とどのように関係するかを明らかにし、平均化された距離のボーリング的ほぼ周期性を用いた新たな証明を提示することで、非周期的順序および力学系におけるスペクトル論の新たな知見を提供している。

ABSTRACT

We consider metrizable ergodic topological dynamical systems over locally compact, $σ$-compact abelian groups. We study pure point spectrum via suitable notions of almost periodicity for the points of the dynamical system. More specifically, we characterize pure point spectrum via mean almost periodicity of generic points. We then go on and show how Besicovitch almost periodic points determine both eigenfunctions and the measure in this case. After this, we characterize those systems arising from Weyl almost periodic points and use this to characterize weak and Bohr almost periodic systems. Finally, we consider applications to aperiodic order.

研究の動機と目的

• 点のほぼ周期性の性質を用いて、エルゴード的位相的力学系における純点スペクトルを特徴づけること。
• 一般点の平均的ほぼ周期性と系のスペクトル型との間の関係を確立すること。
• ベシコビッチ的およびウェイリのほぼ周期的点が固有関数および不変測度とどのように関係するかを調査すること。
• 平均化された距離のボーリング的ほぼ周期性を用いて、純点スペクトルの特徴づけに対する新しい証明を提供すること。
• 測度力学系およびデローネ集合や移動有界測度から生じる非周期的順序の系への応用を検討すること。

提案手法

• 軌道とそのシフトとの間の距離を平均することにより、力学系における点の平均的ほぼ周期性を定義する。
• 軌道に沿った連続関数のサンプリングを用いて、平均的ほぼ周期性を特徴づける。
• ベシコビッチ的ほぼ周期的点を定義し、それらをスペクトル測度および固有関数と関連付ける。
• ウェイリのほぼ周期性を用いて、一意的エルゴード性および固有関数の連続性を研究する。
• Følner列と一様平均を用いて、ウェイリのほぼ周期関数の定義と分析を行う。
• 平均化された距離のボーリング的ほぼ周期性による純点スペクトルの最近の特徴づけを用いて、主結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系が純点スペクトルを持つ場合、一般点が平均的ほぼ周期的であるための条件は何か？
• RQ2 ベシコビッチ的ほぼ周期的点は、エルゴード系における固有関数および不変測度とどのように関係するか？
• RQ3 ウェイリのほぼ周期性は、一意的エルゴード性および固有関数の連続性を特徴づける上で果たす役割は何か？
• RQ4 点のほぼ周期性を用いて、力学系のスペクトル型をどのように特定できるか？
• RQ5 これらの特徴づけは、デローネ集合や移動有界測度から生じる系、すなわち非周期的順序の系にどのように適用できるか？

主な発見

• 局所コンパクトかつσ-コンパクトなアーベル群上のメトライズ可能なエルゴード的位相的力学系が純点スペクトルを持つための必要十分条件は、ほとんどすべての点が平均的ほぼ周期的であることである。
• 一様に平均的ほぼ周期的である一般点が存在するならば、エルゴード系では純点スペクトルが成立する。
• 純点スペクトルを持つ系では、ベシコビッチ的ほぼ周期的点がほとんど everywhere に存在し、そのような点は固有関数を生成し、不変測度を特定する。
• ウェイリのほぼ周期的点は、一意的エルゴード性および連続的固有関数を特徴づける。
• 主結果の証明は、平均化された距離のボーリング的ほぼ周期性による純点スペクトルの最近の特徴づけに依拠しており、従来の研究とは異なる新たな手法を提供する。
• ウェイリのほぼ周期関数に対して、一様な平均の存在が確立され、Følner列に沿った平均の収束がシフト列に依存しないことが保証される。