[論文レビュー] Pure Spinors on Lie groups

Anton Alekseev, Henrique Bursztyn+1 more|Archive ouverte UNIGE (University of Geneva)|Sep 10, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、双不変計量を備えたリー群上の純スピン形式とディラック構造を統一的な枠組みで扱うものであり、クリフォード代数とスピン表現を用いて一般化複素構造を特徴付ける。G ⊕ ḡ 内のラグランジュ部分代数がディラック構造を定めることを確立し、G 上の純スピン形式が Cl(𝔤) の元に対応することを示し、微分 d + η に関して統合可能性が同値であることを示す。主たる貢献は、コンパクト群に限らない quasi-Hamiltonian G-空間に対する新しいディラック幾何的アプローチであり、体積形式の新規構成を可能にし、複素半単純群への理論の拡張を可能にする。

ABSTRACT

For any manifold M, the direct sum TM \oplus T*M carries a natural inner product given by the pairing of vectors and covectors. Differential forms on M may be viewed as spinors for the corresponding Clifford bundle, and in particular there is a notion of \emph{pure spinor}. In this paper, we study pure spinors and Dirac structures in the case when M=G is a Lie group with a bi-invariant pseudo-Riemannian metric, e.g. G semi-simple. The applications of our theory include the construction of distinguished volume forms on conjugacy classes in G, and a new approach to the theory of quasi-Hamiltonian G-spaces.

研究の動機と目的

• 双不変擬リーマン計量を備えたリー群 G における純スピン形式およびディラック構造の体系的理論の構築。
• ディラック幾何とスピンモジュールを用いて、コンパクト群に限らない quasi-Hamiltonian G-空間理論の一般化。
• 純スピン形式の構成を用いて、複素半単純群の共轭類およびビッグセルにおける標準体積形式の構成。
• ディラック準同型と同型を用いて、異なるモーメント写像形式（K*, P, 𝔰𝔭*）の間の対応を確立。
• 自明化 𝕋G ≅ G × (𝔤 ⊕ ḡ) とスピンバンドル同型を用いた、G 上の一般化複素構造の統一的枠組みの確立。

提案手法

• 自明化 𝕋G ≅ G × (𝔤 ⊕ ḡ) を用いて、一般化接バンドルを Lie 代数とその逆代数の直和に同定する。
• 標準クリフォード作用が微分形式上の自然作用に移るよう、スピンバンドル同型 𝒫: G × Cl(𝔤) → ∧T*G を構成する。
• 純スピン形式を Cl(𝔤) 内の純スピン形式の像として 𝒫 で定義し、統合可能性が微分 d + η に関して同値であることを示す。
• Cl(𝔤) 上のクリフォード微分 d_Cl を、立方体的要素との交換子によって与えられ、Ω(G) 上のねじれ de Rham 微分 d + η と関連付ける。
• ラグランジュ部分代数 𝔰 ⊂ 𝔤 ⊕ ḡ によって、G 上の一般化フォリエーションを誘導するディラック構造を特徴付ける。
• 微分同相と閉2形式を用いて、異なるモーメント写像モデル（K*, P, 𝔰𝔭*）間のディラック同型を確立し、ディラック構造を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双不変計量を備えたリー群 G 上の純スピン形式は、クリフォード代数とスピンモジュールを用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ2 G 上の純スピン形式の統合可能性は、ねじれ de Rham 微分 d + η とどのように関係するか？
• RQ3 G 上のディラック構造は、𝔤 ⊕ ḡ 内のラグランジュ部分代数からどのように生じるか？ その幾何的帰結は何か？
• RQ4 ディラック幾何とスピン法を用いて、コンパクト群に限らない quasi-Hamiltonian G-空間理論を拡張できるか？
• RQ5 異なるモーメント写像形式（K*, P, 𝔰𝔭*）は、ディラック準同型と体積形式構成によってどのように関係するか？

主な発見

• 一般化接バンドル 𝕋G は G × (𝔤 ⊕ ḡ) として自明化され、𝔤 ⊕ ḡ 内のラグランジュ部分代数によるディラック構造のグローバル記述が可能になる。
• スピンバンドル ∧T*G は G × Cl(𝔤) に同型であり、Cl(𝔤) 上のクリフォード作用が微分形式上の自然作用に対応する。
• Ω(G) 上の微分 d + η は Cl(𝔤) 上のクリフォード微分 d_Cl に対応するため、φ ∈ Ω(G) 内の純スピン形式の統合可能性は、Cl(𝔤) 内の前像の統合可能性と同値である。
• カルタン＝ディラック構造（Cl(𝔤) 内の純スピン形式 1 に対応）は、G の共轭類によるフォリエーションを誘導する。
• 複素半単純 G におけるガウス＝ディラック構造は、ガウス分解におけるビッグセルに対応する稠密な開部分葉を持つ。
• quasi-Hamiltonian G-空間上の体積形式は、φ^top ∧ ψ の最高次部分により構成され、群作用に関して不変であり、K*-値モーメント写像に対して (Φ^A)^{2ρ} と exp(ω) を含む明示的公式を持つ。