[論文レビュー] Pure State Quantum Statistical Mechanics

Christian Gogolin|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2010

Quantum many-body systems参考文献 62被引用数 13

ひとこと要約

この修士論文は、事前確率や古典的確率性を仮定せずに、もつれと不確定性関係に基づく真の量子的統計力学の基礎を提示する。測度論的根拠を用いて微正準系と正準系を正当化し、時間平均と集合平均の平衡化と典型性を証明し、量子情報理論的ツールを用いて平衡化時間と純度ゆらぎの上限を導出する。

ABSTRACT

The capabilities of a new approach towards the foundations of Statistical Mechanics are explored. The approach is genuine quantum in the sense that statistical behavior is a consequence of objective quantum uncertainties due to entanglement and uncertainty relations. No additional randomness is added by hand and no assumptions about a priori probabilities are made, instead measure concentration results are used to justify the methods of Statistical Physics. The approach explains the applicability of the microcanonical and canonical ensemble and the tendency to equilibrate in a natural way. This work contains a pedagogical review of the existing literature and some new results. The most important of which are: i) A measure theoretic justification for the microcanonical ensemble. ii) Bounds on the subsystem equilibration time. iii) A proof that a generic weak interaction causes decoherence in the energy eigenbasis. iv) A proof of a quantum H-Theorem. v) New estimates of the average effective dimension for initial product states and states from the mean energy ensemble. vi) A proof that time and ensemble averages of observables are typically close to each other. vii) A bound on the fluctuations of the purity of a system coupled to a bath.

研究の動機と目的

• 古典的確率性に依存せず、もつれと量子的不確定性に依存する真の量子的統計力学の基礎を構築すること。
• 事前確率や粗視化を仮定せずに、微正準系と正準系の使用を正当化すること。
• 孤立系における量子系の平衡化への傾向と時間平均および集合平均の典型性を説明すること。
• 開放系における部分系の平衡化時間と純度ゆらぎの厳密な上限を提供すること。
• 一般の初期状態に対して、量子H定理と有効次元の推定を確立すること。

提案手法

• 高次元ヒルベルト空間における測度濃縮を用いて、平衡化と集合平均の典型性を正当化する。
• 有効次元や純度といった量子情報理論的ツールを応用して、部分系の挙動を分析する。
• 固有状態熱化仮説（ETH）と弱い相互作用モデルを用いて、エネルギー固有状態基底におけるデコherenceを証明する。
• ハミルトニアンのスペクトル性質と初期状態の有効次元を用いて、平衡化時間の上限を導出する。
• 時間平均状態と熱的状態とのトレース距離を用いて、平衡化の典型性を定量化する。
• ランダム行列理論と測度濃縮の結果を応用して、積状態および平均エネルギー系の平均有効次元を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 事前確率や古典的確率性を仮定せずに、微正準系をどのように正当化できるか？
• RQ2 量子部分系の典型的な平衡化時間は何かを決定づけるのか。また、系のパラメータでその時間の上限を定められるか？
• RQ3 弱い相互作用がエネルギー固有状態基底でデコherenceを引き起こす条件は何か？
• RQ4 一般の量子系において、時間平均と集合平均の観測量はどの程度典型的に近いか？
• RQ5 バスタブに結合した部分系の純度と有効次元はどのように時間発展するのか。また、それらのゆらぎにどのような上限を設定できるか？

主な発見

• 高次元ヒルベルト空間における典型性に基づき、微正準系に対する測度論的正当化が提供された。
• 部分系の平衡化時間の明示的上限が導出され、初期状態の有効次元に反比例するスケーリングが示された。
• 一般の弱い相互作用がエネルギー固有状態基底におけるデコherenceを引き起こすことを証明した。これにより古典的挙動の出現が支持された。
• 量子H定理が確立され、孤立系においてフォンノイマンエントロピーが通常は時間とともに増加することを示した。
• 初期状態の積状態および平均エネルギー系の平均有効次元について、新たな推定値が得られ、高次元における典型性が示された。
• 時間平均と集合平均の観測量が通常は近く、それらのトレース距離が有効次元と系のサイズの関数で有界であることを証明した。