[論文レビュー] Pure state quantum statistical mechanics and black holes

Seth Lloyd|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、多数の自由度を持つ純粋状態の量子系が、ほとんどの測定において、従来の集団（例えば、微正準集団や正準集団）の統計的挙動を再現することを示している。熱力学的極限において、典型的な純粋状態における測定の期待値およびモーメントは、統計力学が予測するものに収束し、混合状態や古典的確率を必要とせずに、純粋な量子状態が熱的平衡に類似した挙動を示すことが示された。

ABSTRACT

Chapter 3 of S. Lloyd's 1988 Ph.D. thesis, `Black Holes, Demons, and the Loss of Coherence: How complex systems get information and what they do with it,' supervisor Heinz Pagels. Reformulates statistical mechanics in terms of pure states and shows that (a) quantum statistics of typical pure states are very close to the mechanics of statistical mechanical ensembles; (b) if a system is in a typical state with energy E, then the reduced density matrix of a subsystem is very close to a thermal state. (A similar result was derived using Levy's lemma some years later by S. Popescu, A.J. Short, A.Winter, Nature Physics 2, 754-758 (2006).) Pure state quantum statistical mechanics is applied to black holesto show that for typical states of matter insideand outside a black hole, the external state is likely to be thermal. Proposes novel interpretation of probabilities in quantum statistical mechanics. Full thesis available at http://meche.mit.edu/documents/slloyd_thesis.pdf. This chapter was submitted for publication to Physical Review in 1988 but rejected by one sentence referee report: `There is no physics in this paper.' You be the judge.

研究の動機と目的

• 多数体系の純粋な量子状態が、微正準集団や正準集団といった標準的集団の統計的予測を再現することを確立すること。
• 古典的確率や混合状態を必要とせずに、純粋状態の量子系が熱的挙動を示す理由という基礎的問題を解明すること。
• 多数の自由度を持つ系における純粋状態ダイナミクスから統計力学がどのように生じるかを、量子力学的根拠を与えること。
• 結果をブラックホールに適用し、その熱力学的挙動が大規模なヒルベルト空間における純粋状態ダイナミクスに起因することを示すこと。
• ヒルベルト空間における典型的性質の観点から、量子測定問題やブラックホールにおける情報損失の理解の基盤を築くこと。

提案手法

• 固定エネルギー $ E $ とエネルギー幅 $ dE $ に対応する高次元ヒルベルト部分空間 $ H_{E,E+dE} $ から抽出されたランダムな純粋状態を、巨視的系のモデルとして用いる。
• 定理1の適用：$ H $ 内のランダムな純粋状態における観測量 $ F $ の期待値の分散は $ 1/\text{dim}(H)^{1/2} $ のスケーリングを示し、典型的性質を示す。
• 一般な観測量 $ F $ の測定結果の統計的分布を導出し、熱力学的極限において集団平均に収束することを示す。
• 非相互作用および弱い相互作用を有する調和振動子系の分析により、熱化をモデル化し、摂動論および密度行列の縮約を用いる。
• 熱力学的極限 $ n \to \infty $ を用いて、一般の相互作用下での純粋状態ダイナミクスから正準密度行列 $ \rho \propto e^{-\beta H} $ を導出する。
• 残りの自由度のヒルベルト空間の次元を用いて、部分系のエントロピーを計算し、熱力学的エントロピーの出現を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多数体系の純粋な量子状態は、典型的な測定において、微正準集団や正準集団の統計的予測を再現できるか？
• RQ2 純粋状態における測定結果の統計的分布は、熱的集団とどのように異なり、熱力学的極限ではその差が消えるか？
• RQ3 ヒルベルト空間における典型的性質が、孤立系における熱的挙動の出現をどのように説明するか？
• RQ4 相互作用がどのように純粋状態を熱的平衡に類似した状態へと駆り立てるか、また系のヒルベルト空間次元が果たす役割は何か？
• RQ5 ブラックホールの熱力学は、大規模なヒルベルト空間における純粋量子状態の典型的性質に起因すると理解できるか？

主な発見

• $ n $ 個の自由度を持つ系において、典型的な純粋状態における観測量 $ F $ の期待値とその微正準平均との差は $ 1/\sqrt{n} $ のスケーリングを示し、熱力学的極限では消える。
• 典型的な純粋状態における測定結果の標準偏差は、集団予測から $ 1/\sqrt{n} $ の因子だけずれるが、$ n $ が大きい極限では統計的に区別不能となる。
• 熱力学的極限において、純粋状態における部分系の縮約密度行列は $ \rho \propto e^{-\hbar \omega_i / T} $ に進化し、調和振動子の正準集団と一致する。
• 相互作用により、相互情報量と粗視化エントロピーが最大値に達し、その値は平衡熱力学的エントロピーに等しくなる。
• 結果は、相互作用ハミルトニアン $ H_{\text{int}} $ の具体的な形に依存せず、一般かつ弱い相互作用であれば成立するため、熱化のロバスト性が示された。
• 本論文は、高次元ヒルベルト部分空間 $ H_{E,E+dE} $ 内の典型的な純粋状態が、微正準集団と区別できない測定統計を生じることを証明した。その乖離の分散は $ 1/(n+1) \cdot (\text{tr} F^2 / n - (\text{tr} F / n)^2) $ のスケーリングを示す。