[論文レビュー] Pure states in the SYK model and nearly-$AdS_2$ gravity

Ioanna Kourkoulou, Juan Maldacena|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用数 68

ひとこと要約

この論文は、SYKモデルにおける純状態をEuclidean投影を用いて構築し、対角相関が leading orderで熱相関関数と一致することを示し、非対角相関を分析し、背面ホライズン領域および通過可能ワームホールのような修正を伴う重力解釈を論じる。

ABSTRACT

We consider pure states in the SYK model. These are given by a simple local condition on the Majorana fermions, evolved over an interval in Euclidean time to project on to low energy states. We find that "diagonal" correlators are exactly the same as thermal correlators at leading orders in the large $N$ expansion. We also describe "off diagonal" correlators that decay in time, and are given simply in terms of thermal correlators. We also solved the model numerically for low values of $N$ and noticed that subsystems become typically entangled after an interaction time. In addition, we identified configurations in two dimensional nearly-$AdS_2$ gravity with similar symmetries. These gravity configurations correspond to states with regions behind horizons. The region behind the horizon can be made accessible by modifying the Hamiltonian of the boundary theory using the the knowledge of the particular microstate. The set of microstates in the SYK theory with these properties generates the full Hilbert space.

研究の動機と目的

• SYKモデルにおいて、単純な局所的マヨラナ条件とユークリッド時間発展を用いて低エネルギーへ到達する純状態のクラスを定義する。
• これらの状態における対角2点関数が、large Nにおけるleading orderで熱相関関数と一致することを示す。
• 非対角相関とそれらのローレンツ時空進化下での振る舞いを特徴づける。
• 有限の相互作用時間の後に部分系がエンタングルされることを、厳密対角化による数値的証拠として示す。
• SYK状態対称性を反映し、境界ハミルトニアンの修正によって背後ホライズン領域へアクセスを可能にする nearly-AdS2 における重力解釈を提案する。

提案手法

• 乱択4次結合を持つMajoranaフェルミオンのSYKモデルを用い、O(N)対称性の解析を行う。
• Majorana二重体の固有値条件によって境界純状態 |B_s> を定義し、2^(N/2) 次元の基底を形成する。
• これらの状態をEuclidean時間ℓだけ進化させて低エネルギー状態 |B(ℓ)> を作り、β=2ℓ としてこれらの状態で相関関数を計算する。
• レプリカ技法と大NのSchwinger-Dyson方程式を適用して、対角相関 G_diag(τ,τ') が leading order で Gβ(τ−τ') に等しいこと、非対角相関 G_off(τ,τ') が熱相関の積として表されることを示す。
• q=4 SYK の Δ=1/4 に対して、Gβ(τ) を用いた低エネルギー（ほぼ共形）解析を行う。
• 有限N（例: N=24,30）に対して厳密対角化を用い、|B> 状態の係数、相関関数の減衰、エンタングルメントエントロピーの成長を調べる。
• 境界ショックウェーブが背後ホライズン領域を生じさせる nearly-AdS2 における重力解釈を論じ、穿遍可能な世界線様の境界修正と関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成された純状態における対角2点関数は、1/Nの leading order で有限温度の熱相関関数を再現するか？
• RQ2 これらの純状態における非対角相関はどのように振る舞い、熱相関関数の形で表せるか？
• RQ3 純状態の部分系におけるエンタングルメントの時間進化はどうで、典型的なランダム状態のエンタングルメントへどのくらい迅速に近づくか？
• RQ4 これらの SYK 純状態に対応する nearly-AdS2 の重力配置は何か、境界の修正で背後ホライズン領域を露出させることができるか？
• RQ5 有限N の数値結果は、対角/非対角相関や重なり ⟨B_s|e^{-2ℓH}|B_s⟩ の大N解析予測をどの程度支持するか？

主な発見

• 純状態における対角相関は、large N の leading order において熱相関と完全に一致する。
• 非対角相関は時間とともに減衰し、1/N補正を除けば熱相関の形で単純に表せる。
• 数値的な対角化は、部分系が有限の相互作用時間の後に典型的にエンタングルされ、エンタングメントの飽和は部分系のサイズにほぼ依存しないことを示す。
• 重力解釈は、shockwaveを伴う nearly-AdS2 構成と背後ホライズン領域を同定し、境界ハミルトニアンの修正を介して滑らかなホライズンにアクセスできるミクロ状態の基底を示唆する。
• 初期 |B_s> 状態の符号選択で平均すると熱集合を再現し、個々の |B_s> 状態は leading order でほぼ熱的な相関を示す。
• 低エネルギーの共形極限は、時間と共に減衰する G_off(t,t') の明示的形を与え、熱化と一致する。