[論文レビュー] Pure $SU(2)$ gauge theory partition function and generalized Bessel kernel

Pavlo Gavrylenko, O. Lisovyy|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、自己双対な $\Omega$-背景における純粋な $\upsilon=2$ $\mathrm{SU}(2)$ gauge理論の双対分配関数が、一般化されたベッセル核のフレドホルム行列式に等しく、また $D_8$ 型のパンレヴェ III 方程式の一般タウ関数と一致することを確立する。この結果は、フレドホルム行列式表現を通じてインスタントン分配関数と等モノドロミー的タウ関数を結びつけ、主小行列式展開によりヤング図形のペアに関するネクラソフの組合せ的和が再現されることを示す。

ABSTRACT

We show that the dual partition function of the pure $\mathcal N=2$ $SU(2)$ gauge theory in the self-dual $Ω$-background (a) is given by Fredholm determinant of a generalized Bessel kernel and (b) coincides with the tau function associated to the general solution of the Painlevé III equation of type $D_8$ (radial sine-Gordon equation). In particular, the principal minor expansion of the Fredholm determinant yields Nekrasov combinatorial sums over pairs of Young diagrams.

研究の動機と目的

• 純粋な $\mathcal{N}=2$ $\mathrm{SU}(2)$ ゲージ理論の双対分配関数と $D_8$ 型パンレヴェ III 方程式の一般タウ関数との正確な対応関係を確立すること。
• 一般化されたベッセル核を用いたフレドホルム行列式表現を双対分配関数に導出すること。
• この行列式の主小行列式展開が、ヤング図形のペアに関するネクラソフの組合せ的和を再現することを示すこと。
• $c=1$ CFT対応を通じて、ゲージ理論の分配関数を等モノドロミー的系およびコンformal field theory に結びつけること。

提案手法

• 双対分配関数は、ずらされた真空期待値の和として定義される：$\mathcal{Z}^{\mathrm{dual}}_{\mathrm{SU}(2)}(t|\nu,\eta) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{4\pi in\eta} \mathcal{Z}_{\mathrm{SU}(2)}(t|\nu+n)$。
• ネクラソフのインスタントン分配関数は、ヤング図形 $\mathsf{Y}^+, \mathsf{Y}^-$ のペアに関する二重和として表現され、分母に $\nu$-依存の $Z_{\mathrm{bif}}$ 要素を含む有理関数が現れる。
• 一般化されたベッセル核 $K$ は、バーナーズ $G$-関数と $\Gamma$-関数から構成され、$\nu$ と $\Omega$-背景の変形パラメータとが関連づけられる。
• フレドホルム行列式 $\operatorname{det}(\mathbb{1} - K)$ が、正規化因子 $C(\nu)$ を除いて双対分配関数を再現することが示された。
• 核 $K$ はリーマン＝ヒルベルト問題から導出され、定理 3.2 で定義される一般化されたベッセル核の性質を満たす。
• 証明は、ポッヒハマー記号、バーナーズ $G$-関数、およびヤング図形の箱の数に関するバランス条件に依存する恒等式に基づく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋な $\mathrm{SU}(2)$ ゲージ理論の双対分配関数が、自己双対 $\Omega$-背景においてフレドホルム行列式表現を有するか。
• RQ2 このフレドホルム行列式が、$D_8$ 型パンレヴェ III 方程式の一般タウ関数と等価であるか。
• RQ3 フレドホルム行列式の主小行列式展開が、ヤング図形のペアに関するネクラソフの組合せ的和と特定できるか。
• RQ4 $c=1$ CFT 対応が、純粋ゲージ理論の強い結合領域にどのように現れるか。
• RQ5 ラグランジュ乗数 $\eta$ は、双対分配関数における真空期待値 $\sigma$ を制御する役割を果たすか。

主な発見

• 双対分配関数 $\mathcal{Z}^{\mathrm{dual}}_{\mathrm{SU}(2)}(t|\nu,\eta)$ が、$\sigma = \nu - \frac{1}{2}$ を満たす一般化されたベッセル核 $K$ に対して、$C(\nu)t^{\nu^2}\operatorname{det}(\mathbb{1} - K)$ に等しいことが示された。
• フレドホルム行列式表現により、双対分配関数が $D_8$ 型パンレヴェ III 方程式の一般タウ関数と一致することが確認され、長年の対応関係の問題が解決された。
• フレドホルム行列式の主小行列式展開により、ヤング図形のペアに関するネクラソフの組合せ的和が得られ、インスタントン分配関数が明示的に再現された。
• 正規化因子 $C(\nu)$ は、$\left[\prod_{s=\pm1} G(1+2s\nu)\right]^{-1}$ で与えられ、ここで $G$ はバーナーズ $G$-関数である。
• 証明は、ポッヒハマー記号とバランス条件 $\sharp(\mathsf{h}^+) + \sharp(\mathsf{h}^-) = \sharp(\mathsf{p}^+) + \sharp(\mathsf{p}^-)$ に依存し、行列式展開の一貫性を保証する。
• この結果により、$\epsilon \to 0$ の極限において、セイバーグ＝ウィッテンのプリポテンシャル $\mathcal{F}_0$ が回復されることを確認し、低エネルギー有効作用の微視的導出を裏付けた。