[論文レビュー] Purely algebraic domain decomposition methods for the incompressible Navier-Stokes equations

Pawan Kumar|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2011

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、スパース行列のグラフ構造に基づく代数的多重グリッド的手法を用いてシュール補行列を近似することで、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を解くための完全に代数的な領域分割法を提案する。この手法は、高レイノルズ数（最大3000）においても収束性が高く、PCD や LSC スキームを上回り、設定段階および応用段階の両方で高い並列性を実現する。

ABSTRACT

In the context of non overlapping domain decomposition methods, several algebraic approximations of the Dirichlet-to-Neumann (DtN) map are proposed in [F. X. Roux, et. al. Algebraic approximation of Dirichlet- to-Neumann maps for the equations of linear elasticity, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 195, 2006, 3742-3759]. For the case of non overlapping domains, approximation to the DtN are analogous to the approximation of the Schur complements in the incomplete multilevel block factorization. In this work, several original and purely algebraic (based on graph of the matrix) domain decomposition techniques are investigated for steady state incompressible Navier-Stokes equation defined on uniform and stretched grid for low viscosity. Moreover, the methods proposed are highly parallel during both setup and application phase. Spectral and numerical analysis of the methods are also presented.

研究の動機と目的

• 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の離散化から生じる大規模・スパース・不定・非対称な線形方程式系を解く課題に対処する。
• PCD や LSC といった既存のスプリースターの性能が、レイノルズ数が100を超えると著しく低下するという限界を克服する。
• 幾何学的またはメッシュ依存の仮定を一切用いずに、行列のグラフ構造のみに依存する完全に代数的で、重複のない領域分割法を開発する。
• 現代のマルチコアおよび分散コンピューティングアーキテクチャに適した、設定段階および応用段階の両方で高い並列性を確保する。
• スペクトル解析および数値的解析を通じて、提案されたスプリースターのロバスト性と効率性を検証する。

提案手法

• スパース行列のグラフ構造を用いて、ディリクレからノイマン（DtN）写像を近似することで、代数的領域分割スプリースターを構築する。
• グラフ分割法を用いて重複のない部分領域を定義し、幾何的情報に依存しないサブス トラクチャリングを実現する。
• 行列をグラフとして扱い、粗次元の作用素を定義することで、代数的多重グリッド手法を用いてシュール補行列を近似する。
• MSCN, LUM, MSCE, OMSCN, OMSCNR, MPCD, および LSC の変種など、シュール補行列の代数的近似に基づく新しいスプリースターを導入する。
• 得られた線形方程式系を解くために、プリコンディショニング付きGMRES法を適用し、反復回数および解法時間を収束指標として監視する。
• 離散ナビエ＝ストークス系のブロック構造（2×2の鞍部問題形式）を活用して、ブロック単位のプリコンディショニング戦略を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列のグラフ構造に基づく完全に代数的な領域分割法は、高レイノルズ数における非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、ロバストなスプリースターを提供できるか？
• RQ2 古典的なPCDおよびLSCスプリースターと比較して、シュール補行列の代数的近似は収束性およびスケーラビリティにおいてどのように優れているか？
• RQ3 提案手法は、設定段階および応用段階の両方で、どの程度高い並列性を維持できるか？
• RQ4 ストレッチドグリッド（境界層シミュレーションで一般的に見られる）上でも、代数的アプローチは有効に機能するか？
• RQ5 提案手法はメッシュに依存しない収束性を達成でき、レイノルズ数の増加に対してもロバストであるか？

主な発見

• 提案された代数的スプリースター（例：OMSCN, OMSCNR）は、レイノルズ数3000までメッシュに依存しない収束性を達成し、PCD や LSC スキームを著しく上回る。
• ストレッチドグリッド上でのRe = 3000の条件下で、OMSCNR法は128プロセッサ上で119回のGMRES反復（解法時間28.4秒）で収束したが、LSC法は1127回の反復（362.3秒）を要した。
• Re = 1000のリークリー・リッドドライブンキャビティ問題において、OMSCNR法は128プロセッサ上で114回の反復（51.0秒）で収束したのに対し、MPCD法は133回の反復（164秒）を要した。
• MSCNおよびOMSCN法は、すべてのテストケースで優れた性能を示し、反復回数および解法時間ともにPCDおよびLSC法を常に上回った。
• これらの手法は強力な並列スケーラビリティを示しており、設定段階および応用段階の両方が高並列性を保っているため、現代のHPC環境に適している。
• スペクトル解析により、プリコンディショニングされた系の固有値が1に集中しており、0に近づかないことが確認され、Krylov部分空間法の高速収束が保証された。