[論文レビュー] Purely log terminal threefolds with non-normal centres in characteristic two

Paolo Cascini, Hiromu Tanaka|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文は特徴的2の状態で最小モデルプログラムの主要な結果に対する反例を構成し、純粋に対数終端（plt）な3次元対が非正規の中心を持つこと、有理的でもコhen–マカウレイでもないklt特異点を持つこと、および中間コホモロジーが消えないkltファノ3次元多様体を持つことの証明を行っている。kawamata–viehwegの消滅定理に反するkltデル・ペッツォ表面を用いた錐構成により、著者たちは特徴的2において古典的消滅定理が成立しないことを示し、正標数体上の特異的幾何学における基盤的道具の崩壊を示している。

ABSTRACT

We show that many classical results of the minimal model programme do not hold over an algebraically closed field of characteristic two. Indeed, we construct a three dimensional plt pair whose codimension one part is not normal, a three dimensional klt singularity which is not rational nor Cohen-Macaulay, and a klt Fano threefold with non-trivial intermediate cohomology.

研究の動機と目的

• 最小モデルプログラムの古典的結果、特にplt対における係数1の部分の正規性が正標数でも成立するかを調査すること。
• 特徴的0における中心的役割を果たすkawamata–viehwegの消滅定理が、特徴的2で失敗するかどうかを特定すること。
• 正標数におけるklt特異点および対数多重正則線形成像の標準的性質に対する明示的反例を構成すること。
• kltファノ3次元多様体が特徴的2で非自明な中間コホモロジーを持つことがあることを示し、特徴的0の挙動と矛盾すること。

提案手法

• 特徴的2でkawamata–viehwegの消滅定理に反するkltデル・ペッツォ表面を用いた錐に似たファイブレーションの構成。
• $\rho(T)=1$ である表面 $T$ 上の $\mathbb{P}^1$-バンドル構成を行い、負の切断を収縮して3次元多様体 $Z$ を形成すること。
• 相対的および絶対的セールの消滅定理を適用し、高次直接像 $R^1g_*\mathcal{O}_Y$ および $R^1g_*\mathcal{O}_Y(-E^Y)$ を計算することで、中心 $E^Z$ の非正規性を検出すること。
• 全空間 $Y$ 上の完全列を解析し、対数多重正則線形成像制限写像における全射性の失敗を示すこと。
• 表面 $T$ および除数 $A$ の性質を用いて、構成された3次元多様体 $Z$ が $\mathbb{Q}$-因子的で、kltかつファノ的であり、$\rho(Z)=1$ であることを確認すること。
• $R^1h_*\mathcal{O}_W$ と $R^1g_*\mathcal{O}_Y$ の同型を確立し、$h^0(Z, R^1g_*\mathcal{O}_Y) = q-1$ を計算することで $h^2(Z, \mathcal{O}_Z)$ を決定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的2において、plt対の係数1の部分が特徴的0と同様に正規のままであるか？
• RQ2 特徴的2におけるkltデル・ペッツォ表面でkawamata–viehwegの消滅定理が失敗し得るか？ これにより新たな反例が可能になるか？
• RQ3 特徴的2におけるkltファノ3次元多様体で $H^2(X, \mathcal{O}_X)$ が消えないものがあるか？ これは特徴的0の状況と矛盾する。
• RQ4 正標数において、対数正則倍数の制限写像が、対数正則倍数の線形成像が半準正定値であっても全射でないことがあるか？
• RQ5 特徴的2におけるklt特異点で、有理的でもコヘン–マカウレイでもないものがあるか？ これは特徴的0における標準的性質に反する。

主な発見

• 特徴的2における3次元 $\mathbb{Q}$-因子的でpltな対 $(Z, E)$ が存在し、$E$ は正規でない素被覆であり、特徴的0における正規性の性質に反する。
• 任意の正の整数 $r$ に対して、特徴的2におけるkltファノ3次元多様体 $Z$ が存在し、$\dim_k H^2(Z, \mathcal{O}_Z) = r$ である。 これは非自明な中間コホモロジーを示している。
• 特徴的2におけるklt特異点 $Z$ が存在し、これは有理的でもコヘン–マカウレイでもなく、特徴的0における分類に反する。
• 任意の $m > 0$ に対して、制限写像 $H^0(Y, \mathcal{O}_Y(mm_0(K_Y + E + B))) \to H^0(E, \mathcal{O}_E(mm_0(K_Y + E + B)))$ は全射でない。 これは拡張定理の失敗を示している。
• $q \geq 2$ のとき、構成された3次元多様体 $Z$ はコヘン–マカウレイでない。 これは $H^1(Z, \omega_Z) = 0$ かつ $H^2(Z, \mathcal{O}_Z) = q-1 \neq 0$ であることから示され、コヘン–マカウレイ条件に反する。
• 表面 $T$ を通じて $H^1(T, \mathcal{O}_T(A)) = q-1$ を計算し、これにより $h^0(Z, R^1g_*\mathcal{O}_Y) = q-1$ が得られ、構成と非自明コホモロジーの直接的関連が示された。